Применение метода быстрых разложений для анализа напряжений в упругих прямоугольных пластинах конечных размеров

• Автор: Хозяинова, Наталья Алексеевна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 168 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава I. Основные положения метода быстрых разложений
§1. Построение граничных функций
§2. Оператор быстрых разложений
§3. Поточечный метод вычисления коэффициентов ряда Фурье
§4. Пример реализации метода быстрых разложений при решении краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
Выводы к главе
Глава II. Растяжение сплошной упругой пластины конечных размеров
§ 1. Постановка задачи
§2. Выбор граничных функций
§3. Построение приближенных решений в аналитическом виде
§4. Сравнение точного решения с приближенным. Анализ погрешности
Выводы к Главе II
Глава III. Растяжение сплошной упругой пластины конечных размеров с
отверстием
§ 1. Постановка задачи
§2. Выбор граничных функций
§3. Составление алгебраической системы для определения коэффициентов
Фурье
§4. Определение коэффициентов Фурье поточечным методом
§5. Построение приближенных решений с учетом 3-5 членов быстрого ряда
Фурье
Выводы к Главе III
Основные выводы и результаты
Список литературы
Введение
Во многих областях техники и строительства используются инженерные конструкции, составленные из тонких упругих пластин. Различные комбинации пластин и оболочек являются конструктивными элементами самолетов, судов, ракет, деталями промышленных машин и т. д. Модель напряженно-деформированного состояния пластины актуальна также для изучения поведения плит земной коры в геологии [61], [68], для строительства дорог, мостов и зданий. Гибкие пластины и мембраны разнообразной формы, а также их сочетания используются во многих приборах и устройствах. Широкое практическое приложение имеют задачи о концентрации напряжений вблизи пор и отверстий в конструкциях и материалах. Нередко их можно свести задачам о плоской деформации упругой плоскости с отверстиями. К этому классу относят также задачи о туннелях, скважинах, перфорированных пластинах.
Плоские задачи теории упругости сложны по двум обстоятельствам: во-первых, математическая модель представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. При решении в перемещениях она состоит из системы двух уравнений второго порядка в частных производных. При решении в напряжениях задача содержит три уравнения первого и второго порядков, а через функцию напряжений - одно дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных. Кроме того, для прикладных задач исследуемые тела часто имеют сложную форму, на которой заданы граничные условия. Оба этих фактора в совокупности обусловливают большую математическую сложность рассматриваемого класса задач и отсутствие универсального аналитического метода решения.
Существующие в настоящее время методы решения задач теории упругости можно разделить на эмпирические, аналитические и численные.

Эмпирические методы в механике предполагают постановку эксперимента и наблюдение за поведением деформируемых тел. Эти методы позволяют получать данные о реальном распределении напряжений и деформаций в условиях эксплуатации конструкций, а также используются при разработке математических моделей и оценке точности результатов численных методов. Первый из эмпирических методов исследования картины распределения деформаций применил немецкий физик и математик Г. К. Брун для изучения влияния отверстий и вырезов в палубах на общую крепость судов [43]. Он взял продолговатый лист резины, разграфил его проведенными параллельно и перпендикулярно длинной стороне прямыми на квадраты, сделал в нем вырезы разной формы и, растянув этот лист в продольном его направлении, зачерчивал форму тех кривых, в которые обращались первоначальные прямые линии, начерченные на листе. В современной науке используются такие методы как метод хрупких тензочувствительных покрытий, метод оптически чувствительных покрытий, методы спектрфотографии и голо-графической интерферометрии, методы муаровых полос, позволяющие получить графическую картину распределения деформаций и напряжений в теле под действием приложенных сил.
Применению эмпирических методов для изучения деформированного состояния пластин и оболочек, имеющих концентраторы напряжения различных типов, посвящены работы Александрова А. Я. [3], Сухарева И. П., Борыняк Л. А., Жилкина В. А. [9], [21], Ушакова Б. Н., Шнейдерович Р. М., Левина О. А., Теока-риса П., Полухина П. И., Воронцова В. К., Чиченева Н. А, Сегал В. М., Макушок И. М., Резникова В. И., Дюрелли А., Попова А. М. [69], Аллахвердова Е. Б., Кор-зона С. А. [5] и другие. Однако при решении ряда важных задач механики деформируемого тела чувствительность и точность традиционных экспериментальных методов оказываются недостаточно высокими, а проведение испытаний — весьма трудоемким, что, помимо затруднений в обобщении полученных эмпирическим путем решений, является недостатком данных методов.
Благодаря развитию мощной компьютерной техники большое значение для решения широкого круга задач механики, отличающихся сложностью постановок,

— + Ьу(х) = -1.44 л-2 &т(.2лх) + .2алсо${.2лх) + Ь$т{1.2ях)
сЬссЫ
<у(Щ = 0 (
у(1) = зт1.2;г,
1.19)
точным решением которой является функция ух = зт1.2лд:, погрешность приближенного решения, полученного с помощью быстрого синус-разложения (1.12), пропорциональна 10~3 уже при N = 2:
« приближенное решение
---------- точное решение
Рис. 1.9. Сравнение точного и приближенного решений задачи (1.19) при N = 2.
Хотя производные имеют существенную погрешность в точках, близких к перегибам графика: