Аналитические решения двумерных краевых задач теории упругости в конечных областях с угловыми точками границы

• Автор: Меньшова, Ирина Владимировна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Чебоксары
• Количество страниц: 126 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1 РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ФУНКЦИЯМ ФАДЛЯ-ПАПКОВИЧА.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
1.1 Решение для полуполосы с заданными на торце напряжениями
1.2 Решения для полуполосы с заданными на торце перемещения-

ЕЗ Решения в прямоугольнике
Е4 Численные результаты
1.5 Выводы
2 ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ПЕРВОЙ ОСНОВНОЙ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛУПОЛОСЕ
И В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
2.1 Самоуравновешенная нормальная нагрузка на торцах полупо-
лосы и прямоугольника, распределенная по закону квадратной параболы
2.2 Квадрат под действием двух сил
2.3 Выводы
3 ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ
ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
3.1 Необходимые формулы
3.2 Полуполоса, защемленная по короткой стороне, сжатая двумя
сосредоточенными силами
3.3 Решение для защемленного прямоугольника
3.4 Передача нагрузки от поперечного стрингера к полосе
3.5 Выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
Теория упругости является основой инженерных методов расчета на прочность. Между тем, число имеющихся аналитических решений теории упругости незначительно. Не найдены аналитические решения в прямоугольнике, треугольнике и т.д., т.е. в конечных канонических областях с угловыми точками границы. Еще хуже обстоит дело в том случае, когда помимо угловых точек границы имеются точки смены типа граничных условий, разрывы сплошности и другие сингулярности.
Интерес к решениям краевых задач теории упругости в областях с угловыми точками границы, в частности, в прямоугольнике (полуполосе), не утихал никогда (последний обзор 2003 года [135] содержит более 700 ссылок на наиболее существенные работы по бигармонической проблеме за почти 200 лет).
В 1940-1980 годы интерес к этой проблеме разгорелся с новой силой. В эти годы было опубликовано несколько тысяч работ, в основном советскими математиками и механиками. После этого заметных публикаций фактически не было. Можно выделить несколько направлений или школ, которые сложились в эти годы в Советском Союзе. Их представителями были крупнейшие ученые тех лет. Ленинградская школа (Папкович П.Ф. [97, 98], Лурье А.И. [79], Гринберг Г.А. [33, 34], Джанелидзе Г.И., Прокопов В.К. [40, 99-103, 104], Костарев A.B. [69, 70], Гуревич С.Г. [36, 37], Нуллер Б.М. [95] и другие) и Московское направление (Гусейн-Заде М.И. [38-39], Лурье С.А., Васильев В.В. [139] и многие другие) в своих исследованиях опирались на, так называемое, соотношение ортогональности Папковича. Ростовская-на-Дону школа под руководством акад. Воровича И.И. использовала различные подходы к решению краевых задач в прямоугольнике. Отметим некоторые их работы: Ворович И.И. [20-22], Копасенко В.В. [20, 63, 64], Ковальчук В.Е. [22], Устинов Ю.А., Юдович В.И. [111, 112]. Очень сильную украинскую
школу математиков и механиков (Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Гомилко

A.M., Мелешко B.B. [26-31, 35] и многие другие) отличал высочайший уровень исследований. Сильные и яркие работы публиковались в Докладах Азербайджанской, Армянской, Грузинской АН ССР. Отметим наиболее значимые работы зарубежных авторов: Benthem J.P. [116], Bogy D.B. [117], Brahtz J.N.A. [118], Dougall J. [119], Flügge W., Kelkar V.S. [120], Little R.W. [134, 80], Smith R.C.T. [137]. Одна из самых ранних работ принадлежит Shiff P.A. [138].
Однако точного решения бигармонической краевой проблемы в прямоугольнике все же найдено не было.
Аналитические решения теории упругости составляют ее фундамент. Поэтому построение новых аналитических решений двумерной теории упругости в канонических областях с угловыми точками границы является важной и актуальной задачей.
Цель работы:
- решения двумерных краевых задач теории упругости в прямоугольнике с различными граничными условиями на его сторонах (формулы для перемещений и напряжений);
- примеры аналитических решений некоторых нерешенных краевых задач теории упругости для прямоугольных подкрепленных и защемленных по торцам пластин, а также для прямоугольных пластин с разрывами сплошности;
- исследование свойств аналитических решений в прямоугольнике; их особенности и принципиальные отличия от решений в областях с гладкой границей (математическая и физическая стороны задачи).
Метод исследования. Решения ищутся в виде разложений по функциям
Фадля-Папковича, которые появляются естественным образом при решении
краевой задачи в прямоугольнике методом разделения переменных. Функции
Фадля-Папковича не образуют базиса на отрезке, но они образуют базис на

Пусть на стыке полуполос

^2Re(a+$(Afc,t/))- 5Z2Re(afc$(jMJfc,y)) = <рг(у) + vp2(y), (1.2.54)

^2Ке(а+^(А^,т/))- ^2Ке(аА. ^А.,у)) = /г(у) + */2(у),
£=1 &=
а^, ак - неизвестные коэффициенты разложений в правой и левой полупо-
лосах, цк = -к, а <рг(у), <р2(у), ^(у), 12(у) - известные функции, которые
определяются по заданным на разрезе скачкам перемещений или напряжений в соответствии с формулами (1.2.44) и (1.2.45). Отсюда найдем
* * Т , -*
(1.2.55)
+ _ flк + ^2 к ААк + к к)
lh-h*Mk

где (п - 1,2)

Ак = / АШк (уШ кк = / кШк Шу, а 2 56)
-1 -1 ' ;
•1пк ■'пк •'пк'
Если на разрезе задан только разрыв поперечных перемещений (1.2.43), то (р^у) = А (у) = к(у) = 0 и’ следовательно, = /1к — /2к = 0. Тогда

(1.2.57)
Подставляя (1.2.57) в формулы (1.1.1) и выделяя нуль-ряды, получим:

sin b, х
U (х, у) = ^2Re к=
U(,y)cv

cos ъкх + Ск
ох{х,у) = Y^2Re

'х(Хк’У>
вт Ь,х

’^2к'
(1.2.58)