Качественный анализ движения тела вращения на шероховатой плоскости

• Автор: Зобова, Александра Александровна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 101 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Бифуркационные диаграммы в задаче о движении тела вращения, ограниченного гладкой поверхностью
1.1. Постановка задачи. Уравнения движения
1.2. Общие свойства уравнений движения
1.3. Качение эллипсоида вращения по абсолютно шероховатой плоскости
1.4. Анализ бифуркационных диаграмм
1.5. Реакции связей. Физические условия осуществимости качения
Глава 2. Качественный анализ динамики волчка Муштари
2.1. Постановка задачи
2.2. Первые интегралы уравнений движения и их склейка
2.3. Стационарные движения волчка Муштари
2.4. Условия осуществимости качения без проскальзывания
Глава 3. Анализ стационарных движений волчка тип-топ
3.1. Постановка задачи
3.2. Уравнения движения волчка и их свойства
3.3. Анализ динамики волчка
3.4. Исследование уравнения прецессионных движений
3.5. Бифуркационные диаграммы
Заключение
Литература

Введение
Задача о движении тела по некоторой поверхности является важной задачей аналитической механики. Интерес к ней не ослабевает уже в течение трех столетий. Этот интерес, по-видимому, обусловлен несколькими причинами. Во-первых, эта задача имеет тесную связь с прикладными задачами теоретической механики, посвященными качению колесных транспортных средств. Во-вторых, во многом благодаря исследованиям динамики тела, катящего по поверхности без проскальзывания, получил развитие целый раздел аналитической механики — механика неголономных систем. В-третьих, эта задача стимулирует развитие теории устойчивости, дифференциальной геометрии, численных методов. Наконец, доступность наблюдений за катящимися телами — детским волчком, юлой, упавшей монеткой, билльярдным шаром — и завораживающая красота их движения дает толчок к размышлениям об этой задаче. Возникшему интересу не дает угаснуть интуитивно неясное поведение некоторых из них (например, переворот волчка “тип-топ”, упорное “нежелание” кельтского камня вращаться в одну из сторон). Для постановки этой задачи очень важным и непростым оказывается выбор модели взаимодействия между катящемся телом и опорной поверхностью. Полученное теоретически качественное описание движения тела по поверхности сравнивается с наблюдениями; тем самым происходит верификация выбранной модели взаимодействия и определение ее области применимости.
Настоящая диссертация посвящена глобальному качественному анализу динамики тела вращения, катящегося по шероховатой горизонтальной плоскости, как без проскальзывания (неголономная модель), так и с проскальзыванием (с учетом силы трения скольжения). Исследования базируются на методах Пуанкаре - Четаева и Смейла исследования динамики консервативных систем с симметрией и их модификациях на случай диссипативных систем.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.
Задача о движении тела по твердой поверхности является классической задачей теоретической механики, внимание ученых к которой не ослабевает уже в течение многих лет. Постановкой и решением этой задачи занимались классики механики Л. Эйлер [79], Ж. Даламбер [6], Г. Кориолис [42], Э. Раус [62, 88], П. Пэнлеве [61], П.Аппель [73, 74], С.Пуассон [83], Г. Герц [5], А. Пуанкаре [60], Д.К. Бобылев [1, 2], Н.Е. Жуковский [10], G.A. Чаплыгин [71, 72], а также многие другие ученые. В настоящем обзоре невозможно осветить все работы, посвященные этой задаче — подробная библиография и обзор литературы даны в книгах [13, 50, 59], а также в недавних обзорных статьях [3, 75]; здесь будут упомянуты лишь работы, в которых уделено внимание вопросам, рассмотренным в представленной диссертации.
Центральным местом в постановке данной задачи является задание модели взаимодействия тела и опорной поверхности. Здесь выделяется три разных подхода: рассмотрение абсолютно гладкой или абсолютно шероховатой поверхности, или задание явного выражения для силы трения. Первые две модели являются консервативными, в третьей же учитывается диссипация энергии. Обсуждение различных моделей трения, их преимуществ и недостатков можно найти в [11, 25, 41, 61, 69, 80, 82]. В настоящей работе в первых двух главах исследуется задача о качении тела по абсолютно шероховатой поверхности, в последней главе используется модель Контенсу [41] взаимодействия между опорной плоскостью и катящимся телом.
В модели абсолютно шероховатой плоскости постулируется, что контакт между телом и опорной плоскости происходит в одной точке, взаимодействие между плоскостью и телом сводится только к результирующей силе и скорость точки контакта — то есть той точки катящегося тела, в которой в данный момент происходит касание тела и опорной поверхности — равна нулю. Величина и направление силы реакции должны быть таковы,чтобы обеспе-

Рис. 1.6. Асимптоты гипербол
члены порядка S92):
1 + 6А2
—К cos 9т + L sin 9т — — г-тдв -
1 + Xі 1 +
1 + 6А2. 2 7 . 5(1-А4)
“ + Г+лії’ } + Г+л5 + f+if®1 +'"-
/1 + 6А2 5(1 — А4) А
V 1 + А2 + (1 + А2)2 ) Pl + 1 + А22 + " ’
6 + А2
= ГТ“и + ГТл5и + "-
Таким образом, в малой окрестности ж/2 асимптота Тг описывается следующим уравнением:
Т2 = {(pi, Pi) 60Pi + ТТ>?Р2
Поведение асимптот представлено на рис. 1.6. При 9 = ж/2 они представляют собой координатные оси, при в < ж/2 обе лежат в первой и третьей
четвертях (обозначены пунктиром), при 9 > 7г/2 — во второй и четвертой