Определение управляющих сил, обеспечивающих выполнение связей высокого порядка

• Автор: Солтаханов, Шервани Хусаинович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 237 с. : ил.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы и ее цель. Неголопомная механика — это важнейший раздел аналитической механики, и одним из направлений ее развития является изучение движения систем со связями высокого порядка. Здесь разработано большое количество форм записи уравнений движения (И. Нильсен, И. Ценов, До Шань, Мэй Фунсян, Н.Н.Поляхов, С.А. Зегжда, М.П. Юшков и др.) и выдвинут ряд вариационных принципов (Манжерона— Делеану, обобщенный принцип Гаусса). Помимо специальной литературы эти вопросы обсуждаются и в монографиях по неголономной механике (напр., В.В.Добронравова, 1970г., Г.Гамеля, 1949г., H.H.Поляхова, С.А.Зегжды, М.П. Юшкова, 1985 г., С.А. Зегжды, Ш.Х. Солтаханова, М.П. Юшкова, 2005, 2009 гг.). При создании теории движения систем со связями высокого порядка была сформулирована смешанная задача динамики, когда движение системы должно подчиняться дополнительной системе дифференциальных уравнений порядка п ^ 3. С позиций неголономной механики эту дополнительную систему можно рассматривать как связи высокого порядка, но фактически она является программой движения, осуществление которой выполняется созданием управляющих сил, определяемых как реакции этих связей высокого порядка (поэтому их лучше называть программными связями). Тем самым формулируется новый класс задач управления.
В работе приведены примеры реальных механических систем, движение которых находится как решение смешанных задач механики. Основная же цель работы состоит не только в дальнейшей разработке теории смешанной задачи механики, но и в распространении ее для решения таких практически важных задач управления, как перемещение механических систем за заданное время из одного состояния в другое заданное состояние. Тем самым выбранную тему исследования можно считать актуальной.
Научная новизна. Разработан общий подход к решению смешанной задачи динамики, которая заключается в отыскании дополнительных обобщенных сил, обеспечивающих выполнение программных связей, заданных в виде системы дифференциальных уравнений порядка п ^ 3; составлена совместная система дифференциальных уравнений относительно неизвестных обобщенных координат и неизвестных реакций связей; впервые приведены и исследованы два примера реальных механических систем из области космонавтики при нелинейной неголономной связи второго порядка и при линейной неголономной связи третьего порядка; введено понятие управляющей силы при связях высокого порядка; найдены условия, при которых управление движением при связях любого порядка осуществляется в соответствии с

принципом Гаусса; дана новая трактовка обобщенного принципа Гаусса, и он применен для нахождения управляющей силы при гашении колебаний механических систем с конечным числом степеней свободы и с распределенными параметрами; указанный подход может быть использован и для нахождения управляющей силы, обеспечивающей перемещение механической системы из заданного состояния в новое состояние в течение заданного промежутка времени. Тем самым, в научный оборот вводится новый класс задач управления, причем предложенными методами решен ряд реальных механических задач, имеющих практическое значение.
Помимо этого, доказана эквивалентность основных форм уравнений движения неголономных систем уравнениям Маджи, решено большое количество неголономных задач, в пространственном случае исследовано наведение на цель по методу погони как неголономная задача, показана необходимость введения системы управления для реализации нелинейной неголономной связи в задаче Аппеля—Гамеля и доказано, что введение такой связи подменяет в задаче диск шаром, предложена методика составления уточненных уравнений движения сложных механических систем на основе применения теории движения неголономных систем со связями высокого порядка.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением к решению поставленных задач классических методов аналитической механики, математического анализа, теории дифференциальных уравнений, теории упругости и дифференциальной геометрии. Результаты, относящиеся к решению конкретных задач, согласуются с выводами других авторов и с экспериментальными данными.
Теоретическое и практическое значение. Разработанная теория решения смешанных задач механики, отражающих фактически новый класс задач управления, может быть применена для новых решений практически важных задач по нахождению управляющей силы, переводящей в заданный промежуток времени механическую систему из имеющегося состояния в любое другое заданное состояние, в частности, при наличии устойчивого положения равновесия эта задача превращается в задачу о гашения колебаний. Помимо этого, полученные результаты могут быть использованы при исследовании движения автомобиля и колесных мобильных роботов, при изучении переходных процессов в системах с гидродинамическими передачами, при рассмотрении работы машинных агрегатов с вариаторами, для решения смешанных задач динамики, например, для обеспечения плавного перевода спутника с одной круговой орбиты на другую.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на 9—ом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.), на всероссийских и международных конференциях по механике "Поляховские чтения" на базе Санкт-Петербургского государственного университета (Санкт-Петербург, 1997г.. 2000г., 2003г., 2006г., 2009г.), на всероссийской и международной научно-практических конференциях

"Окуневские чтения" на базе Балтийского государственного технического университета "Военмех" (Санкт-Петербург, 1997г., 2000 г.), на всероссийской научной конференции "Интеграция науки, образования и производства - решающий фактор возрождения экономики и социальной сферы в посткризис-ный период" на базе Комплексного научно—исследователыюго института РАН ( Грозный, 2000г.), на международном научном симпозиуме "Пуанкаре н проблемы нелинейной механики" на базе Балтийского государственного технического университета "Военмех" (Санкт-Петербург, 2004 г.), на 9-ом международном семинаре им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" на базе Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (Москва, 2006 г.), на международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ—2007" (Санкт—Петербург, 2007 г.), на международных конференциях "Магдебургские дни машиностроения" (Германия, Магдебург, 2003г., 2005 г., 2007г., 2009г.), на "Второй научной конференции по динамике, вибрациям и контролю" (Китай, Пекин, 2006 г.), на "Втором научном конгрессе по механике" (Сербия, Субботица, 2009 г.), на научных семинарах (Франция, Париж, Институт шоссе и мостов, 2005 г., Италия, Салерно, Университет Салерно, 2007г.).
Неоднократно результаты диссертации докладывались и обсуждались на кафедре теоретической и прикладной механики Санкт—Петербургского государственного университета (2005 г., 2006г., 2007г., 2009г., 2010г.), на заседаниях секции теоретической механики им. H.H. Полякова при Санкт— Петербургском Доме ученых РАН (2005 г., 2006 г., 2008 г., 2010 г.), а также на научном семинаре в Институте проблем механики РАН (руководитель академик РАН Ф.Л. Черноусько, Москва, 2006 г),
Объем, структура и краткое содержание диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, приложения, заключения и списка литературы, насчитывающего 368 наименований. Число иллюстраций равно 44. Общий объем работы 237 страниц.
Во введении излагаются основные этапы развития неголономной механики, отмечается возможность применения ее методов для решения конкретных технических задач, прослеживается связь неголономной механики и теории управления, подчеркивается целесообразность использования понятия касательного пространства для векторного представления уравнения движения механической системы произвольной структуры, обсуждается возникновение обобщенного принципа Гаусса, подчеркивается роль связей высокого порядка для создания нового класса задач управления, указывается возможность применения обобщенного принципа Гаусса к задачам гашения колебаний механических систем.
В главе I рассматривается движение системы материальных точек, стесненное неголономными связями, с помощью введения понятия изображающей точки по Герцу. Поясняется векторная структура реакции неголоном-

Неголономные связи (3.1), не влияющие на вектор У/,, естественно назвать идеальными. Для них вектор реакции
и. = и/' = N = ЛД?'/Г ■ (3.8)
Итак, второй закон Ньютона при идеальных иеголономных связях имеет

АЛУ = У + ЛЖУ'/Г- (3.9)
Умножая это уравнение на векторы Єд, А = 1, /, получаем уравнения Маджи
(А/Иф -Оа)^- = 0, А = ІД, (3.10)
= <Г"Г
Эти уравнения для линейных иеголономных связей получил Маджи в 1896 г. [313]. Позже для нелинейных иеголономных связей первого порядка II для линейных связей второго порядка их вывел А. Пшсборскнй [338] с помощью обобщенного принципа Даламбера-Лагранжа.
Интегрируя дифференциальные уравнения (3.1), (3.10) при заданных начальных условиях, можно найти закон движения системы
Ца = (Г{І) , (7 — 1,5. (3.11)
Умножая уравнение (3.9) на векторы Є;+*, тс — 1, к, получим вторую группу уравнений Маджи:
(М1Уа-С2а)-^ = „, х = ТД. (3.12)
Из этих уравнений при известном законе движения системы (3.11) могут быть определены обобщенные реакции Л*, я — 1 ,к, иеголономных связей (3.1) как функции времени. Формулы (3.12) не дают непосредственно величины Ах как функции І, у, (). Эти функции находятся из уравнений
е1+” ■ W = хх'(*, 9, Таким образом, как и в случае голопомных связей, получили, что введение иеголономных базисов (3.4) позволяет и для иеголономных связей получить два подпространства К и А. Эти подпространства оказываются ортогональными друг другу, и исследования в них удобно вести с помощью уравнений Маджи (3.10) и (3.12).
Уравнения Маджи являются весьма удобными для исследования движения иеголономных систем. Отметим, что они справедливы для любых него-лономных связей, в том числе и для нелинейных. Из этих уравнений может