О реализации неудерживающих связей в механических системах с вырождением в кинетической энергии

• Автор: Попова, Татьяна Валентиновна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 102 с. : ил

Содержание
Введение
1 Реализация неудерживающей связи в двумерном случае
1.1 Физическая модель реализации неудерживающей связи . .
1.2 Траектории с упругими отражениями
1.3 Уравнения движения в окрестности границы
1.4 Поведение траекторий в окрестности границы
1.4.1 Случай положительной нормальной реакции
1.4.2 Случай отрицательной нормальной реакции
1.4.3 Случай движения из области с положительной нор-
мальной реакцией в область с отрицательной реакцией
2 Реализация неудерживающей связи в многомерном случае
2.1 Постановка задачи
2.2 Поведение траекторий системы в окрестности гиперповерхности вырождения
2.2.1 Уравнения движения в окрестности гиперповерхности вырождения
2.2.2 Случай положительной нормальной реакции
2.2.3 Случай отрицательной нормальной реакции
2.2.4 Интерпретация результатов
2.2.5 К вопросу об ослаблении условий инвариантности .
2.3 Задача о движении двойного математического маятника .
3 Исследование поведения траекторий системы в фиксированной окрестности границы с отрицательной реакцией
3.1 Уравнения движения в окрестности границы с отрицательной нормальной реакцией
3.2 Существование траектории, проходящей вдоль границы с отрицательной нормальной реакцией
Литература

Введение
Понятие связи является одним из основных понятий механики. Решая практически любую прикладную задачу мы сталкиваемся с этим понятием. Так, например, в задаче о движении точки по гладкой поверхности поверхность накладывает ограничения на перемещения точки. Или другой пример, при движении двух тел, связанных невесомой нерастяжимой нитью, нить не препятствует движению тел, если она не натянута, но в тоже время, не дает телам разойтись на расстояние большее своей длины.
Примеров, подобных приведенным, очень много. Именно поэтому большое количество работ посвящено системам со связями. Разработаны различные методы исследования таких систем.
Классический (формально-аксиоматический) метод изучения систем со связями основан на принципе Даламбсра-Лагранжа, который выводится из принципа освобождаемое от связи и аксиомы об ее идеальности. Суть метода состоит в следующем [30].
Пусть q Є И," — обобщенные координаты системы, Т — кинетическая энергия, І*1 — обобщенные силы, действующие на систему. Поведение свободной системы описывается уравнениями Лагранжа
= К (1)
М д<] дq
Предположим, что на систему наложена удерживающая связь /( кривые задаются уравнением (1.18), то площадь, ограниченная фазовой кривой = /о, равна
Применяя теорему о вечном адиабатическом инварианте [2|, получаем необходимый результат. ■
Приведем механическую интерпретацию полученных теорем. Пусть энергия системы фиксирована и соответствующая нормальная реакция связи положительна на некотором участке кривой Л. Тогда траектории, начавшиеся в окрестности П£ данного участка кривой Л в фазовом пространстве, не покидают эту окрестность. Таким образом, в случае положительной нормальной реакции на некотором участке кривой Л поведение траекторий на поверхности 2 при е -> 0 таково, что если точка начинает движение в е-окрестности данного участка кривой Л на поверхности Е со скоростью ’’близкой” к касательной к кривой Л, то точка не покинет эту окрестность (рис. 4), до тех пор пока не выйдет в область с отрицательной реакцией.

Тогда

причем Р(/0,т) > 0. Так как и = 2тг
, то ш > 0 и — ф 0. оI