Распределение функционалов от винеровского процесса с линейным сносом

• Автор: Смирнова, Вера Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 105 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава
Распределение функционалов от броуновского движения со сносом

1 .2. Распределение функционалов от броуновского движения с линейным
сносом для момента, обратного ко времени пребывания
Глава
Неубывающие перестановки и времена пребывания винеровского процесса с линейным сносом
2.1. Оператор неубывающей перестановки и его свойства.
Связь неубывающих перестановок и времен пребывания
2.2. Преобразование Лапласа двумерного распределения времен
пребывания винеровского процесса
2.3. Следствие. Формулы для моментов
2.4. Распределение неубывающей перестановки винеровского
процесса со сносом. Формулы для математического ожидания и
дисперсии
Глава 3 . Приложения
Заключение
Литература

В работе используются следующие обозначения:
- стандартный винеровский процесс,
1(1:,ц) - локальное время винеровского процесса,
ЗУс(з)=У(8)+С5 - винеровский процесс с линейным сносом;
Т - оператор неубывающей перестановки,
17;] - обратное преобразование Лапласа по X
1 с О-аЧ)” локальное время винеровского процесса с линейным сносом
Р * - вероятность для процесса с началом в точке х ту -момент первого достижения уровня у /Л/,г) -обратное локальное время

Введение
Данная работа посвящена изучению распределений функционалов от случайных процессов и их приложений. Рассматривается винеровский процесс с линейным сносом а также сумма винеровского и пуассоновского процессов. Дискретным аналогом винеровского процесса может служить следующая модель-случайного блуждания. Частица меняет своё положение лишь в дискретные моменты времени, кратные Изменение положения происходит таким образом, что, находясь в точке х, частица независимо от предшествующего поведения переходит с равными вероятностями в одну из соседних точек х + Ах или х-Ах, причём смещение Ах одно и то же для всех точек х (речь идет лишь об одной координате движущейся частицы ,иначе , об одномерном случайном блуждании ). В пределе ,когда
определенном образом Д/ —> 0 , Ах —> 0, получается непрерывное случайное блуждание, характерное для физического процесса броуновского движения.
рис. 1. Траектория винеровского процесса.
Целью настоящей работы было разработать методы вычисления функционалов от винеровского процесса с линейным сносом
и>с(7) = +
' рис. 2. Траектория винеровского процесса с линейным сносом.
' * ' Л
Изучением таких функционалов, как
У1(/3) = тт8:]§1(™(у))ау+'Е/В1к1(я,г1л)>(, '5)
[о к= J / = !
где - неотрицательная кусочно-непрерывная функция, Д к>0, к=1,2
Из этих моментов с помощью операций минимума (л) и максимума (у) можно образовать целый набор моментов остановки.
Например,
( Д О = V, ( Д 2) )л у2 (Д Г 2) л уп+х (Р, tn+l) (1.6)
у™ (Д ?) = V, (Р, Тх)чу2{Р,12) V у„+1 (р, *и+1)
Много различных моментов возникает при комбинации операций минимума и максимума.
Так при использовании двух операций имеем следующий набор моментов:
V (Д= У1 (Д ]) Л (/2 ) Л (/?> (з) v''л( Vм3)={ (ДлуДД/;,) IVУ3(Д?3) у™ (Р, Ц, 22, ?з ) = V, (У?, 2,) V у2 (У?, Г2 ) V у3 ( Д /3)
Понятно, как образуется моменты для более чем двух операций. Кроме того, из вида результатов для указанных моментов ясно, как формируется результаты для более сложных моментов.
Распределение функционалов от винеровского процесса для более общих моментов остановки получены в [5].
Рассмотрим, как выглядят аналогичные результаты для винеровского процесса со сносом.
§ 1.2. Распределение функционалов от броуновского движения с
линейным сносом.