Комбинаторные свойства сечений обобщенных пирамид Паскаля

• Автор: Серегина, Марина Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 110 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Комбинаторные свойства пирамиды Паскаля
1.1. Плоские сечения пирамиды Паскаля
1.2. Верхние отсечения пирамиды Паскаля
1.3. Сечения пирамиды Паскаля и некоторые комбинаторные числа
ГЛАВА II. Комбинаторные свойства обобщенных пирамид Паскаля
2.1. Плоские сечения обобщенных пирамид Паскаля
2.2. Верхние отсечения обобщенных пирамид Паскаля
2.3. Сечения обобщенных пирамид Паскаля и некоторые комбинаторные числа
ГЛАВА III. Перечислительные интерпретациии
3.1. Полные покрытия отрезка
3.2. Неполные покрытия отрезка
3.3. Модели развития популяций
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В настоящее время, в связи с интенсивным развитием компьютерных и информационных технологий, растет число комбинаторных задач и их разнообразие. К решению таких задач прямо или косвенно приводят многие вопросы теоретического и практического характера, связанные с существованием и подсчетом числа комбинаторных конфигураций из элементов некоторого множества, построенных в соответствии с определенными правилами (см., напр., [10, 15, 17, 20, 33, 39, 81]). Характерная общность и высокая степень абстракции постановок задач дает возможность получения различных интерпретаций комбинаторных объектов и широту их применения (см., напр., [5, 21, 32,45, 64]).
По мере развития комбинаторных методов дискретной математики возникают вопросы классификации и представления материала, что, в свою очередь, вызывает необходимость создания единого подхода для получения и изучения комбинаторных объектов. Наряду с классическими подходами Мак-Магона и Редфилда-Пойа возникают и новые, в частности, Рота, Платонова, Сачкова (см., напр., [25, 36-38, 45, 81, 87]). В последние десятилетия расширился круг исследователей, как, пожалуй, самой известной и изящной численной схемы, носящей название треугольник Паскаля (см., напр., [1-2, 6, 8, 9-11, 14, 24-26, 37, 40-41, 43, 52-58, 65-66, 68, 71, 75-76, 81, 85]), так и его плоских и пространственных аналогов и обобщений. Идеи построения арифметических треугольников комбинаторного происхождения и их приложений высказывались многими авторами' (см., напр., [3, 7, 12-13, 16-18, 22-27, 34, 36-38, 41-42, 44, 55-57, 59-60, 62-63, 69-71, 74-79, 84, 87, 93] и др.), причем в некоторых работах, естественно, полученные результаты повторяются. Первые попытки классификации комбинаторных объектов на основе построения соответствующих пирамид Паскаля были предприняты в 80-х годах прошлого столетия Б.А.Бондаренко [7], а достаточно общую схему, названную обобщенной пирамидой Паскаля, предложил в конце 90-х годов XX
века О.В. Кузьмин [25].
Треугольник Паскаля прост, но в то же время таит в себе неисчерпаемые возможности и связывает воедино различные разделы математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Треугольник Паскаля часто выписывают в виде равнобедренного треугольника (рис. 0.1), в котором на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину.
Числа Фибоначчи
Рис. 0.1. Треугольник Паскаля.
Треугольник Паскаля также можно представить в форме прямоугольного треугольника в одном из четырех позиций. Наиболее употребительна форма записи, представленная в виде табл. 0.1.
Таблица 0.1. Треугольник Паскаля
кк) II о 1 2 3 4 5
о II с

2 1 2
3 1 3 3
4 1 4 6 4
5 1 5 10 10 5
6 1 6 15 20 15 6

tf.=£

Имеем
л-g І g(p2+g2) II g(Pi+g|)

*=0 m=0 r=
Я Яг 01 V r > m
Г ?; («-?)
Lî(ft+Î2).
g|(”-g)
«(Pl+ïl)
+ z z
m=0 r=
n p2 p{
Я Яг Яі

п—(Рг+Чг)

- Z Z Z

п—(р2+?2н
L«(p2+g2)J

т=0 г=
gl” g|(P2+g2)
g(Pi+«i) «г(Рі+«і)

m_ür"
Я Яг і P2 A 1—-^m- — r
Я Яг Яі r, m —
» - - £ s I
g=0 m=0 r=
n—(Pl+?l) 4

-m Lr
? Я2 Я

~U q. . +
n—(pi+giH

r_w_]
Lg(pi+gi)J

n ! Рг P
1 -m- — r
Я Яг Яі
r-l,m
Чг8 ¥ gl# ]
g(P2+g2)jLg(Pl+g|)J

w=0 r=
^_Aw_Ar 9 Яг Яі
V r’m
Г g2/i 1Г
=(/,-,+ z z
m=0 r=
n p2 -m-
Я Яг r, m

Un-q+U q +U q +
«--(^2+?2) "----{Рі+Яі)
Яі Яі
Г Яг{п-д)^яЛп-д) 1я(Р2+Я2)Ія(Рі+Яі)
=u,-rl+ s z
m=0 r=
П л Рг P
1 ——m —— r
Я Яг Яі