Анализ устойчивости некоторых классов нелинейных систем

• Автор: Комаров, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 114 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность проблемы, цели и основные результаты исследований .
Общая формализованная постановка исследуемых задач
Обзор публикаций по теме исследований
ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ С. А. ЧАПЛЫГИНА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОЦЕНОК
1.1. Построения интегральных оценок для линейных дифференциальных уравнений
1.2. Исследование продолжимости оценок С. А. Чаплыгина для однородных линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
1.3. Развитие теоремы сравнения для уравнений в частных производных типа Лапласа
ГЛАВА 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛЯПУНОВА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
2.1. Развитие теорем об устойчивости движения методом векторных функций Ляпунова
2.2. Применение дифференциального уравнения Ляпунова высокого порядка к исследованию задач устойчивости
2.3. Развитие методов анализа равномерной асимптотической устойчивости линейных нестационарных систем

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА ДЛЯ АНАЛИЗА
УСТОЙЧИВОСТИ
3.1. Двухэтапный метод применения скалярных и векторных функций Ляпунова для анализа устойчивости
3.2. Исследование структуры устойчивых возмущений
методом векторных функций Ляпунова
3.3. Применение векторных функций Ляпунова для исследования устойчивости одного класса уравнений
ГЛАВА 4. МОДИФИКАЦИЯ СИСТЕМ СРАВНЕНИЯ В
МЕТОДЕ ВЕЛЛМАНА - БЕЙЛИ С ПОМОЩЬЮ
ОЦЕНОК ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
4.1. Способ Бейли построения векторной функции
Ляпунова и системы сравнения
4.2. Исследование алгебраических неравенств
метода Беллмана - Бейли
4.3. Модификация систем сравнения с помощью
оценок высокого порядка
4.4. Сравнение модифицированного алгоритма нахождения системы сравнения с классическими результатами
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ.
Актуальность проблемы,
цели и основные результаты исследований.
В настоящее время, для исследования математических моделей управляемых процессов широко применяются нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачи такого рода возникают при управлении механическими, электроэнергетическими, экономическими системами, а также при управлении технологическими процессами [7,8,9,12,17]. Дальнейшее развитие методов исследования устойчивости нелинейных систем может способствовать решению многих задач управления динамическими объектами, созданию алгоритмического и программного обеспечения. Одним из основных подходов для анализа устойчивости нелинейных систем самой различной природы и формы описания является метод векторных функций Ляпунова. Трудности, связанные с построением функций Ляпунова и анализом динамических свойств, определяют актуальность дальнейшего развития метода и получения на его основе новых критериев устойчивости нелинейных систем дифференциальных уравнений. В современных исследованиях метод векторных функций Ляпунова охватывает большое количество практических приложений.
Для заданных математических моделей исследование динамических свойств методом векторных функций Ляпунова содержит этапы получения вспомогательных теорем, называемых теоремами сравнения, вывода теорем о динамических свойствах, построения векторной функции Ляпунова и соответствующей ей системы сравнения, проверки условий теоремы и получения соответствующих количественных оценок. Несмотря на наличие единого подхода к построению доказательств теорем сравнения, получение теорем о динамических свойствах при помощи

С помощью найденного набора функций сг, сг,, сг,, сгк_2 построим уравнение порядка к -
у*-»_ (£Г + я).у*-«_ ... _(о.4_2+ Рк_2уу = 0. (1.2.3)
Так как
Л1 - р-л1-1- рглк-2- ... - л_, =
= (Д +Д0)-(яа'1)- (сг + /?) • Д(,_2) - (сг, + /?,)• Да"3) - ... -(<тк_2 + рк_2)), где
Л/ + я• Л.*'1 - я.• К'2 + р2■ Л,*'3- ... + (—I)*-1 • яы = о, Лея.
Тогда, корни характеристического полинома дифференциального уравнения (1.2.3) являются корнями характеристического полинома, соответствующего уравнению (1.2.1). Убедимся в этом на примере уравнения четвертой степени. Из системы дифференциальных уравнений (1.1.2) получим:
■ сг, — л Я ’ Ло >
.0-2 = Л'1+ яЧ2- я,Ч Л4+ яЧ3- Я1'Л)2+ ЯаЧ = Яз-
Поскольку число Л является вещественным корнем сопряженного уравнения, справедливо следующее разложение исходного полинома на множители
ЛА-р-Лъ-ргЛ2-р2-Л-р3 =
= (Д + До)-(Д3 - (о- + я)-Д2 - (0-1 + Я|)-Д - (0-2+ я2)) = = д4 - (о- + /?-л)-Д3 - (0-1 + я. +Л(0" + я))-Д2 -- (ст2 + я2 + Л(0"1 + я,))-Д - (о-2 + я2)Ч■