Сходимость разностных методов для нелинейных уравнений в частных производных

• Автор: Фишер, Малле Александеровна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тарту
• Количество страниц: 125 c. : ил

§ I. Вспомогательные сведения и результаты
§ 2. Решаемая задача и разностная схема
2.1. Постановка задачи
2.2. О гладкости решения задачи (2.1)
§ 3. Дискретные теоремы вложения
§ 4. Свойства разностного оператора
4.1. Дифференцируемость оператора А^
4.2. Неравенство коэрцитивности
4.3. Неравенство коэрцитивности для частного случая
§ 5. Локальная сходимость разностного метода
5.1. Дискретно сходящиеся последовательности операторов
5.2. Сходимость разностного метода
§ б. Сходимость разностного метода в случае малого
свободного члена
§ 7. Корректность разностных схем для квазилинейных
параболических уравнений
7.1. Неявная схема
7.2. Явная схема
7.3. Схема Кранка - Николсона
7.4. Метод интерации
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

І. Настоящая диссертация посвящена исследованию разностных методов приближенного решения первой краевой задачи для эллиптических и параболических квазилинейных уравнений второго порядка. При этом исследованию подлежат весьма конкретные задачи, связанные с эллиптическим оператором со слабыми нелинейностями в коэффициентах:
приводят задачи о стационарном распределении тепла, задачи диффузии, электростатики.
Нестационарный процесс теплопроводности описывают параболические уравнения
Кроме того, к случаю, когда коэффициенты являются функциями
Известно (см. [34] , [Зб] ), что к эллиптическим уравнениям вида
їденім,
(2)
(3)
от решения приводят задачи механики нефтяных резервуаров (см, [б] ). Исследование такого типа задач было начато Дугласом и Дюпоном в [51] . Они рассматривают диффузионную задачу

ім(х,і) = 0 , хе ЭЛ , £ > О ,
^(х,о) - и0(х) , oc.eS-,
где Л с ^-ограниченная область; предполагается, что матрица йу(х,и) размера тхпг- вещественна, симметрична и равномерно положительно определена.
Нетрудно показать, что оператор А не является монотонным оператором. В связи с этим отметим, что эллиптические дифференциальные уравнения с монотонным оператором довольно глубоко исследованы (см. [22, б, 10, 2] ). Вопрос разрешимости уравнения (2), т.е. уравнения с немонотонным оператором менее исследован. В этом отношении можно указать на следующую задачу Дирихле, не содержащую смешанных производных:
полагается, что Л с (т = 2,і) - ограниченная область с
рывно дифференцируемое отображение из ЛхД в [ы0 ,<*.,] ? где 0<оСо > причем производные ОТ Оу(х,Кх) до второго порядка ограничены на Лх£. Утверждается, что если (0,4) и если функция продолжаема на
всю область Л так, что й С&) € СА+оС(Л)^ то задача (5)
(5)
Проблема разрешимости задачи (5) изучается в [дз] . Там преддостаточно гладкой границей ЭЛ , а сь(х,и) дважды непреимеет единственное решение Ю € Сг+Ы'(51') (пространство
С^^Л) означает здесь пространство Гельдера).

при гк~И,Ъ , значит справедливо (3.3). Так как при
(Ъ> пара , ъ-)ьХъ С(Ь, л') , то в силу теоремы 3.1 получим
II Эс 4 С ||«-||0

II ^ Ц сад ^ С К <} , р> > •
Итак,справедливо неравенство (3.12).
Аналогично использованию теоремы 3.1 будет использована теорема 3.2, откуда вытекает дискретная компактность последовательностей ) и (Эс уь) • Именно, из условия
ПРИ (Ь > следует дискретная
компактность в С-СЛц) последовательности (^) , а из условия |1^1|г(Ь ~ ООК-'5*: при (Ь>^— следует дискретная
компактность в последовательности (’Эс