Многокомпонентные векторные схемы расщепления в методах математической физики

• Автор: Абрашина-Жадаева, Наталья Григорьевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Минск
• Количество страниц: 193 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ
1.1. Общий принцип многокомпонентного векторного расщепления
1.2. Основные понятия
1.3. Общие свойства компонент вектор-решения
1.4. Модифицированные варианты многокомпонентного расщепления
1.5. Многокомпонентные разностные схемы на разнесенных пространственно — временных сетках
1.6. Выводы по главе
МЕТОДЫ МНОГОКОМПОНЕНТНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
2.1. Векторно-аддитивные схемы с операторами, зависящими от времени
2.2. Многокомпонентные методы для уравнения движения
2.3. Многокомпонентные методы для нелинейных нестационарных задан
2.4. Некоторые обобщения
2.5. Выводы по главе
ЭКОНОМИЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
3.1. Постановка задач
3.2. Параллельный вариант
3.3. Последовательный вариант
3.4. Итерационные схемы реализации метода конечных элементовКН
3.5. Примеры
3.6. Влияние вычислительной погрешности
3.7. Выводы по главе
МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ В МЕТОДАХ ДЕКОМПОЗИЦИИ ОБЛАСТИ
4.1. Методы декомпозиции области решения нестационарных задач
4.2. Методы декомпозиции области для стационарных задач

4.3. Выводы по главе
5 МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ МЕТОДЫ В ПОСТРОЕНИИ АЛГОРИТМОВ
РАСЩЕПЛЕНИЯ ПО ФИЗИЧЕСКИМ ПРОЦЕССАМ
5.1. Линеаризованная система уравнений Навье—Стокса
5.2. Методы для системы нелинейных уравнений Навье — Стокса
5.3. Выводы по главе
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ
Для эффективного анализа сложных математических моделей особую актуальность приобретает развитие простых и концептуально прозрачных подходов, позволяющих в кратчайший срок реализовать полный цикл технологии численного моделирования от построения и верификации математической модели, до масштабных численных экспериментов по детальному изучению исследуемых объектов и сравнений теоретических результатов с экспериментальными данными. Один из таких подходов связан с экономичными методами. Под экономичными схемами, обычно, понимают безусловно устойчивые приближенные методы, которые при нахождении решения на очередном временном слое требуют количества арифметических действий пропорционального числу узлов пространственной сетки. Экономичность разностных схем есть не только средство экономии машинного времени, но в некоторых случаях и практически обязательное условие реализации схемы в виде программы. Появление экономичных методов было связано с одной из наиболее острых проблем при численном решении многомерных задач математической физики. Проблема обусловлена тем, что использование стандартных безусловно устойчивых неявных схем приводит к решению системы линейных алгебраических уравнений с матрицей достаточно сложной структуры. Реализация таких алгоритмов связана с существенными вычислительными затратами, возрастающими с ростом числа узлов сетки. На пути их улучшения возникли новые, так называемые, экономичные схемы.
Первые экономичные алгоритмы для нестационарных многомерных задач были предложены Дугласом, Писменом, Рэкфордом [125, 124] и получили название метода переменных направлений. Первоначально метод переменных направлений был применен для решения многомерных уравнений параболического типа и далее получил распространение во многих задачах математической физики. Альтернативным подходом к построению экономичных методов решения многомерных задач явился метод расщепления (метод дробных шагов) [117]. В данном случае, когда проводится редукция сложного оператора к простейшим, интегрирование исходной задачи сводится к последовательному интегрированию уравнений более простой структуры. В этой связи появилось несколько актуальных научных направлений, наиболее значимый вклад в которые внесли Г.И.Марчук, A.A.Самарский, Н.Н.Япенко. Предлагались различные мо-

Аи(ЗУ(3 У0X0X07
Уа(0) — Щ, а = 1 ~р, уа = Уа&п+1, X).
Как видно, каждое из уравнений разностной задачи решается последовательно с помощью одномерной трехточечной прогонки, что говорит об экономичности метода.
И. Рассмотрим многомерное уравнение с граничными условиями первого рода вида

+ Ьи = х € (?), 0 <1 <Т, (2.6)
а,/?
с дополнительными условиями
и(х, 0) —щ(х), х е Ср
где = (1, Х2,Хр) — односвязная область с достаточно гладкой границей дС(В, Ь —эллиптический оператор для которого выполняется усло-
ВИС р р р
с1 Е £ Е с2 Е & (2-7)
сс=1 а,/?=1 а
где С1,С2 > 0 — ограниченные величины, ( = (1 ,
Преобразуем оператор Ь, представив его в виде суммы симметричного и кососимметричного операторов Ь — А + В, где
Аи- Е Аауи, Аари - дха(а°р№ дХр)’
а, /3
ааа ~ ао! ~ 0) = ®/За! Р Ф а (а ~ Р ~ 1>Р)I
Ви = ГВаи, Ваи= -0,5— (6а(сс)и)+&0(ж)-),
а=1 а а

Ьа(х) = 0,5 -— (А:да - £а/?), Ь(х) = (Ьь
(3=1,Ха