Использование свойств симметрии и подобия в алгоритмах метода Монте-Карло

• Автор: Роженко, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 84 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Вводная информация
1.1. Процесс переноса частиц. Плотность столкновений и поток частиц
1.2. Общая схема моделирования процесса переноса. Оценка функционалов от потока частиц
1.3. Переходная плотность в цепи столкновений
1.4. Интегральное уравнение переноса (с обобщенным ядром)
1.5. Оценка по столкновениям
1.6. Рандомизированное ветвление траекторий
1.7. Коэффициент к,,{ размножения частиц
1.8. Метод расщепления
Глава 2. Модификация двухэтапных алгоритмов метода Монте-Карло с учетом свойств симметрии задачи
2.1. Двухэтаппые алгоритмы метода Монте-Карло
2.2. Модификации на основе свойств симметрии первого этапа
2.3. Модификация расщепления траекторий в случае изотропного источника. Постановка задачи
2.4. Оценка трудоемкости на основе упрощённой модели
2.5. Выборка “вращения” по важности
2.6. Описание алгоритма численного моделирования
2.7. Анализ результатов
Глава 3. Модификация метода расщепления для решения задачи с ветвлением траектории
3.1. Постановка задачи
3.2. Оценки на основе упрощенной модели типа процесса Гальтона-Ватсопа в шаре
3.3. Упрощенная модель для всей задачи, “ветвление веса”
3.4. Численные эксперименты
3.5. Дополнительные замечания
Глава 4. Минимаксные параметрические весовые оценки в методе Монте-Карло
4.1. Постановка задачи
4.2. Вспомогательные утверждения
4.3. Минимаксная оптимизация стандартного МПТ
4.4. Минимаксный алгоритм с ветвлением траекторий
4.5. Оптимизация МПТ при вариации индикатрисы
4.6. Параметрическая оценка погрешности транспортного приближения
Литература

Введение
Свойства симметрии и подобия изучаемых процессов позволяют строить эффективные вычислительные алгоритмы с использованием соответствующих аналитических преобразований осреднения, поворота, сдвига и т.п. В методе Моите-Карло это связано с использованием условных математических ожиданий или в рандомизированном варианте—алгоритмов расщепления. Разработка таких приемов восходит к известной работе (22]. Построение более сложных весовых алгоритмов в значительной степени связано с геометрическими соображениями о подобии траекторий моделируемого процесса для различных вариантов физической модели (см., напр., [3,7,18,22,27]).
Свойства симметрии и подобия можно эффективно использовать в “двухэтапных алгоритмах” метода Монте-Карло. В литературе (см., напр., [9]) рассматриваются два варианта стандартного двухэтапного алгоритма: метод математических ожиданий и метод расщепления. На практике чаще всего используется метод расщепления. В диссертации разработаны модификации двухэтаиных алгоритмов метода Монте-Карло с учетом свойства симметрии, то есть инвариантности, первого этапа относительно некоторого начального векторного параметра моделируемой траектории. Предлагаемая модификация состоит в формальном переносе моделирования указанного параметра на второй этап алгоритма. В “методе расщепления” это означает рандомизацию начальных точек вспомогательных траекторий. Показано, что такую рандомизацию можно улучшить, фактически применяя принцип Веллмана.
На модельных задачах радиационного контроля в диссертации разработан содержательный вариант учёта симметрии на первом этапе моделирования траектории для оптимизации соответствующего алгоритма расщепления. При этом оптимальные параметры алгоритма определяются па основе специально построенных упрощённых моделей задачи.
Можно полагать, что в главах 2, 3 диссертации рассматриваются варианты модельной задачи радиационного контроля, целью которой является определение типа или параметров “внутренней” среды по показаниям детектора частиц, которые сравниваются с заданными “эталонными значениями”. В частности, практически важной является задача определения кон-

центрации активного изотопа, в котором реализуется процесс деления. Соответствующий параметрический анализ эффективно осуществляется весовым методом, причем для ограничения дисперсии в некоторых случаях оценки следует строить на, ветвящейся цепи Маркова,. Другой важной задачей является оценка, величины полного сечения для внутренней среды. При этом для параметрического анализа показаний детектора естественно применять так называемый “метод подобных траекторий”, который детально изучается и разрабатывается в главе 4.
Метод подобных траекторий (МПТ) позволяет проводить эффективный параметрический анализ исследуемых функционалов, необходимый, в частности, для решения обратных задач восстановления значений параметров по экспериментальным наблюдениям. Решение задач теории переноса излучения с помощью МПТ реализуется методом Моите-Карло путем численностатистического моделирования траекторий частиц — “квантов излучения” — соответственно заданной радиационной модели среды. С помощью вспомогательного случайного веса при этом получаются оценки исследуемых функционалов для различных значений параметров модели, например, плотности среды.
Стандартный вариант МПТ связан с вариацией плотности или линейного размера среды и даёт возможность эффективной оценки, например, вероятности прохождения кванта через среду в зависимости от этих параметров [3,7,18,27]. Случайные “физические” траектории для различных значений модельной плотности при этом отличаются лишь длинами пробегов — этим и объясняется термин МПТ. В диссертации рассмотрен и соответствующий невесовой алгоритм — “геометрический МГГТ”. Изучается также весовой алгоритм для случая, когда варьируется параметр индикатрисы, то есть плотности распределения косинуса угла рассеяния частицы. Такой алгоритм можно рассматривать как вариант МПТ, так как соответствующие физические траектории отличаются лишь углами рассеяния.
Как указано выше, алгоритмы МПТ реализуются путем численно-статистического моделирования траекторий квантов соответственно вспомогательной радиационной модели. В связи с этим рассматривается задача выбора модели для минимизации параметрического максимума среднеквадратической погрешности весовых оценок требуемых функционалов; такой выбор может

Глава
Модификация двухэтапных алгоритмов метода Монте-Карло с учетом свойств симметрии задачи
Материал данной главы основан на работах [11,14,24].
2.1. Двухэтапные алгоритмы метода Монте-Карло
Двухэтапные алгоритмы метода Монте-Карло строятся для решения задач, которые формально сводятся к вычислению интегралов вида
J=L (Xq(uy v)PÂdv 1 и))Pi{du)’
где Pi(-) — вероятностная мера в U, Рг(1 | и) — вероятностная мера в V при и Є U.
Базовым для метода Монте-Карло является представление
J = Еф Ç = q(Ç,v), ÇeC, rj є V. (2.1)
Случайный вектор (£, 77) численно моделируется в два, этапа. Па нервом из них реализуется £ соответственно мере Рі(-), а на втором — 77 соответственно условной мере Рг(- | £). Искомое приближённое значение величины J строится путем осреднения выборочных значений С, получаемых в результате численного моделирования [9]. Известно, что трудоёмкость алгоритма метода Монте-Карло оценивается величиной S = Ш(, где DÇ — дисперсия, a t.— средние арифметические затраты на одну реализацию алгоритма [9].
В литературе (см., напр., [9]) рассматриваются две модификации стандартного двухэтапного алгоритма: метод математических ожиданий (ММО) и метод расщепления.
Концепция ММО тривиальна: если функция q(u) — fv q(u,v)p2(dv | и) определена аналитически, то на втором этапе алгоритма просто вычисляется