Применение спектральной теории автоморфных функций к некоторым задачам аналитической теории чисел

• Автор: Быковский, Виктор Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 72 c. : ил

ГЛАВА 1
§1. Полная модулярная группа и целые точки на по-

верхности = 2> 7.
§2. Некоторые сведения о специальных фикциях 15. §3. Собственные функции оператора Лапласа-Бельтрами
и их свойства
§4. Вспомогательные леммы
ГЛАВА II
§1. Формула суммирования для 28.
§2. Оценка суммы Р дь(іп)
-1-^ <]
ГЛАВА III
§1. Вспомогательные леммы
§2. Среднее значение функции числа делителей квадратичного полинома
БИБЛИОГРАФИЯ
70.

Вопрос об асимптотическом поведении суммы
/0.1
1и,иР
где °С(уп,) - число делителей натурального Уп , Я) -натуральное, впервые был рассмотрен в работе [20].
В ней была доказана асимптотическая формула
# /о.2
Попытки выделить ещё один главный член и получить степенное понижение остатка в этой задаче привели к необходимости оценок сумм вида
/здесь иг - произвольное целое, отличное от нуля,
3) - натуральное/.
На важность оценок сумм типа /0.3/, в связи с гипотезой Петерссона, указал Ю.В.Линник в докладе на Международном Математическом конгрессе в Стокгольме в 1962 году /см. [10]/. В 1963 году появилась работа Хоули /см. [16] /, в которой он доказал оценку
В этой же работе, с помощью /0.4/, он получил асимптотическую формулу
1 -Р+3) = о(ср
/0.3
/0.4
- СА(а)2^Р + Сс(ф)Р + 0%6(£э П) /0.5
/см. также работу [б], в которой получено логарифмическое уточнение /О.Ъ//. Оставаясь в рамках технических средств, используемых в [16] , оценку остаточного члена в /0.5/ можно довести до
°а>,е С-Р6+£) . /о.б
Это сделано в работе [4]. В работах [14] , [1б] , [17] были найдены приложения неравенства /0.4/ к некоторым другим задачам.
В 1964 году Сельберг в [22] предложил новый подход к решению некоторых теоретико-числовых задач, использующий созданную им спектральную теорию автоморфных функций. Развивая идеи Сельберга, Н.В.Кузнецов в работе [8] получил принципиально новые результаты на пути к доказательству гипотезы Линника, касающейся поведения суммы сумм Клостермана.
В настоящей работе спектральная теория автоморфных функций применяется к изучению сумм вида /0.3/ и /0.5/. При этом существенно используются приёмы и методы из работ [8] , [1б]
Работа состоит из трёх глав. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней изложены некоторые известные факты, связанные с полной модулярной группой, действующей на верхней полуплоскости, теорией положительно определённых квадратичных форм, специ-

Тогда для любого е>о
До
, тгС(.И.2+Зэ) = 2, • ) (иЗч-йА
1и.К£ к=-°о '
_г,СЕ. ]<ь^0) +°^Дле£)-
4.«с)*£
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из определения функции 'ТО) следует
тню-X, 1 =г'22, 1 +<гг<ю = * • X 1 +%(»■),
о1,с1,= и. А,лг-и. Ак; (1<т
с1,ЧСС2.
где Н’ГСи) =1 , если и, - квадрат натурального, и
*Б(и) =о в остальных случаях. Поэтому
*Г(и?+ДЬ) = 2 • ^ ± , ±
кЦ£ ы*£ ^н.2+а; Кии<р*
= *• 21 >, Х(^> X +ОбС4).
'и-К.£ срз н.г 1и-К£ И.2<с| <иЛ
Так как

= 2"Х 2,Ч(«-!+4)-2-2 > 'ТрЛа) + ОХ.
и^В 1и-К£ !и.| <.у I