Распределение единиц числового поля при локализации

• Автор: Блохин, Александр Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 106 c. : ил

ГЛАВА I. ЕДИНИЦЫ ГЛОБАЛЬНЫЕ И ЛОКАЛЬНЫЕ
§ 1.1. ЕДиницы и расширения с ограниченным
ветвлением
§ 1.2. Лемма Шапиро и модули Галуа
§ 1.3. Ограничение и норма на индуцированных

модулях
§ 1.4. Гомоморфизм локализации
§ 1.5. Мультипликативная группа циклического

расширения локального поля
§ 1.6. Старшие члены локальных единиц и параллелограммы Валина
ГЛАВА 2. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЕДИНИЦ ЦИКЛИЧЕСКОГО РАСШИРЕНИЯ
ПОЛЯ СМ-ТИПА
§ 2.1. Локализация единиц в -расширениях

§ 2.2. ЕДиницы полей СМ-типа

§ 2.3. Нормы единиц

§ 2.4. Групповое кольцо группы диэдра
§ 2.5. Модульная структура глобальных и локальных

единиц

§ 2.6. Независимость гомоморфизмов локализации
§ 2.7. Старшие члены единиц
ГЛАВА 3. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЕДИНИЦ ПРИ
ЛОКАЛИЗАЦИИ В -РАСШИРЕНИЯХ
§ 3.1. Стабилизация норменного отображения
§ 3.2. Устойчивая часть параллелограмма Валина
§ 3.2. Локальные нормы и асимптотика параллелог-

раммов Валина
§ 3.4. Равномерное распределение старших членов

единиц
ЛИТЕРАТУРА

Группа единиц и группа классов идеалов - два основных инварианта числового поля, определяющие его арифметические свойства. Они характеризуют отклонение арифметики поля алгебраических чисел от арифметики рациональных чисел. К изучению этих групп сводятся многие задачи теории чисел и алгебраической геометрии (см. [40] ). Хотя структура группы единиц хорошо известна и задается классической теоремой Дирихле (см. [II])» практическое вычисление единиц конкретных числовых полей является чрезвычайно трудной задачей. Реализация существующих алгоритмов вычисления единиц (например [II] ) наталкивается на колоссальный объем вычислений, приводящий к тому, что реально такими алгоритмами можно пользоваться только для полей, которые либо ЯВЛЯЮТСЯ расширениями поля рациональных чисел маленьких степеней (2,3,4 • Г.Ф.Вороной, В.М.Делоне, Д.К.Фаддеев, X.Хассе и другие), либо принадлежат специфическим классам числовых полей (например, круговые поля: Куммер, абелевы расширения поля рациональных чисел: Х.Леопольдт). Такая же ситуация и с группой классов идеалов - хотя и существуют алгоритмы ее вычисления, но пользоваться ими можно только в очень специальных случаях.
Поэтому особое значение имеют косвенные методы изучения указанных групп. Одним из таких методов является р-адический метод (см. [XI] . 116] ). Он заключается в том, что единицы числового поля вкладываются в более просто устроенное локальное поле -^-адическое пополнение числового поля. Если ^ -делитель [ в поле К и се - единица поля К , то такое вложение осуществляется разложением эе в Чр -адически сходящийся степенной ряд по степеням

2 иК. ^г>£нк,^^2>Т|к,т
Из І) и 2) следует, что іуя. £0 ^ ^ ^ $ ъ >
так как нЧ^У&п., Х/рХ) ~ 0 , а - квазиизоморфизм.
Значит осуществляет квазиизоморфизм
С подгруппой 2Н VI С^ЛЧі Цр) в гРУппе 2 н10й.,г, (*■?)
Ч>|? ° »к
что и требовалось доказать.
Дальнейший анализ образа локализации единиц зависит от локального поведения делителей р в расширении
У_ /ьг
считаем, что такое поведение не зависит от уі* ..Если ветвятся в , то старшие члены образа

асимптотически совпадают с четными числами из отрезка по.ръ*], не делящимися на р , с максимальной кратностью, где Ъп = /(?"!,)-
Другими словами, скачки Г1-фильтрации образа локализации единиц асимптотически лежат в (р-0 арифметической прогрессии по модулю % р . Если | р ^ *“{р остается простил в
то скачки фильтрации образа локализации единиц асимптотически совпадают со всеми числами из но их кратность
равна половине максимально возможной. Если ^|р ^ ^ распадается в расширении & ъ£ , то образ локализации единиц асимптотически совпадает с диагональю в прямой сумме