Скрученные подмножества в группах и их обобщения

• Автор: Вепринцев, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 96 с.

Оглавление
Введение
Глава I Скрученные подмножества и симметроиды
1. Предварительные результаты
2. Отношение коллинеарности в симметроидах
3. Коллинеарность в групповых симметроидах
4. Проективные симметроиды
5. Решение вопросов 1 и
Глава II Симметричные подмножества в группах
1. Предварительные результаты
2. Правые и левые подмножества
3. Симметричные подмножества
4. Редуцированные симметричные подмножества
5. Связь симметричных подмножеств со скрученными
Глава III Дивергенции автоморфизмов групп
1. Общие свойства дивергенций автоморфизмов
2. Размеры дивергенций
3. Вычисление числа дивергенций
4. Ядра дивергенций
5. Индуцированные автоморфизмы и их дивергенции
6. Критерий инволютивной декомпозиции группы

Глава IV Автоморфизмы малой ширины
1. Предварительные результаты
2. Инволютивные автоморфизмы ширины
3. Инволютивные автоморфизмы ширины
A. Предварительный анализ
B. Случай 2-группы
C. Доказательство теоремы
Б. Доказательство теоремы
Литература

Введение
В работе [13] М. Ашбахер вводит понятие скрученной подгруппы в группе. При этом скрученной подгруппой (twisted subgroup) называется подмножество К группы G, удовлетворяющее следующим условиям:
(tsl) 1 е К,
(ts2) Если х,у € К, то хух € К.
В.В. Беляевым было замечено, что в ряде случаев вместо свойства (t,s2) удобнее рассматривать свойство
(ts2*) Если х, у € К, то xy~lx £ К.
Основное определение. (Беляев В.В.) Подмножество К группы G, для которого выполняются (tsl) и (ts2*) будем называть скрученным подмножеством.
Нетрудно показать, что скрученные подмножества всегда являются скрученными подгруппами. В конечных группах справедливо и обратное, то есть любая скрученная подгруппа есть скрученное подмножество. При этом стоит заметить, что М. Ашбахер в [13] работает только в конечных группах.
Понятно, что любая подгруппа в группе является скрученным подмножеством. В качестве нетривиальных примеров скрученных подмножеств можно указать множество инволюций группы, пополненное 1, а также множества /( Следует отметить, что понятия скрученного подмножества и скрученной
T(xix2) = {Txi)x2 = (:yiT)x2 = yi(Tx2) = yifaT) = {ym)T. Получаем, что y>(xix2) = (у1у2)Л'егЛ(Т) = уКег{Т) у2Кегх(Т) = <р(хг) ip(x2). Итак, ip — гомоморфизм.
Покажем, что для у? имеют место (1) и (2).
(1) Для любого у G Im(T) найдется х G Imp{T) такой, что Тх = уТ. Значит для любого у = уКег(Т) найдется х € Imp(T) такой, что у?(х) = у. Получаем, что у> сюрьективен.
(2) Ker(ip) = {х € Imp(T) | у?(х) = Kerx(T)} — {х G Imp(T) Тх — 1Т}=Кегр(Т).
Итак, построенный гомоморфизм у? удовлетворяет (1) и (2). Значит 1тпр{Т)/Кегр(Т) == Imx(T)/Kerx(T). Теорема доказана.
Выясним теперь поведение функторов Кегр и 1тпр относительно сдвигов Т.
Лемма 1.5. (R) Пусть a G G. Тогда с1) Кегр(Та) = (Кегр(Т)У;
(2) 1гпр(Та) = (1тр(Т)Г;
(3) Кегр(аТ) = Кегр{Т);
(4) Imp(aT) = 1тпр(Т).
Доказательство.
(1) х G Кегр(Та) Tax = Та <=> ТахаГ1 = Т axa-1 G Кегр(Т) х G {Кегр{Т)у.
(2) х G Imp(Ta) 3у Е G : Tax — уТа By G (7 : Taxa
axa-1 G Imp(T) & x G (7mp(T))a.
(3) x G Kerp(aT) aTx = aT Tx = T<ïG Kerp{T).
(4) x G Imp(aT) «=> 3y G G : aTx = yaT 4Ф- 3y G G : Tx = a-1yaT «-xG Imp{T).
Лемма доказана.