Структурные и теоретико-модельные аспекты теории решеточно упорядоченных групп

• Автор: Курылева, Ольга Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Барнаул
• Количество страниц: 63 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Интерпретация арифметики
§ 1. Основные сведения
§ 2. Идеалы СЛп для п = 2
§ 3. Идеалы Тп для тг>
§ 4. Интерпретация арифметики
Глава 2. Дискриминирующие /-группы
§ 1. Критерий дискриминируемости/-групп
§ 2. Примеры дискриминирующих /-групп
§ 3. Дискриминируемость /-групп и универсальная эквивалентность
§ 4. Дискриминируемость свободных абелевых /-групп
Глава 3. Квазимногообразия псевдо-МУ-алгебр
§ 1. Решетка квазимногообразий псевдо-ЛГУ-алгебр
§ 2. Квазирегулярные классы и унитальные решеточно упорядоченные группы
§ 3. Связь квазимногообразий унитальных решеточно упорядоченных групп и псевдо-МУ-алгебр
Список литературы

Введение
Решеточно упорядоченной группой (1-группой) называется алгебраическая система сигнатуры / =< 1, е, V, Л >, совмещающая
в себе структуру группы и решетки, связанные естественными соотношениями
х(и V у)у = хиу V хуу, х(и А у)у — хиу А хиу.
Векторное пространство У над полем действительных чисел И, являющееся решеткой относительно некоторого частичного порядка, называется векторной решеткой, если для всех и,у,ш £ У
и + (у V ш) — (и + у) V (и + ии), и + (у А ги) = {и + у) А (и + ш).
В настоящее время теория решеточно упорядоченных групп является теорией с широким кругом задач и разработанными методами.
За последние 30 лет произошел расцвет в развитии теории 2-групп. Наиболее полно теория /-групп изложена в монографиях В.М. Копытова [29], Г. Биркгофа [7], В.М. Копытова, Н.Я. Медведева [21], Л. Фукса [37], М.Р. Дарнела [10]. Современное состояние теории /-групп, ее перспективы и проблематика отражены в работе В.М. Копытова, Н.Я. Медведева [31].
Связи теории решеточно упорядоченных групп обнаружены со многими другими разделами математики, такими как логика, теория моделей, геометрия, функциональный анализ, теория групп, теория МУ-алгебр и псевдо-МУ-алгебр.
Все больше научных работ посвящено исследованиям на стыке теории решеточно упорядоченных групп с другими дисциплинами.
Напомним ряд определений и вспомогательных результатов, необходимых в дальнейшем.
Элементарной теорией Т7г,(/С) класса К. алгебраических систем сигнатуры а называется совокупность всех замкнутых формул сигнатуры а прикладного исчисления предикатов (ПИП), истинных на всех системах из класса /С. Элементарная теория класса К, называется разрешимой, если существует алгоритм, который по произвольной замкнутой формуле ПИП сигнатуры а определяет, принадлежит эта формула ТЛ,(/С) или нет. Если элементарная теория класса /С не является разрешимой, то она называется неразрешимой. Теория называется наследственно неразрешимой, если любая ее подтсория той же сигнатуры неразрешима.
Одним из основных методов доказательства неразрешимости теории является метод относительно элементарной определимости [27].

Пусть /Со - класс моделей сигнатуры <т0 =< Р°,Р£к >, класс 1С -класс моделей сигнатуры <п. Будем говорить, что класс /Со относительно элементарно определим в классе К, если существуют такие формулы
1р(х,у), -ф(х,уу2),
£о{х,у...уПо),
сигнатуры ах (здесь и далее х = (ад
(1) множество £ = {В : Ъ £ Ят,Я (= (р(а, Ь)} не пусто;
(2) формула ф(а, у1, у2) задает отношение конгруэнтности ту на модели С сигнатуры сто, основное множество которой есть Б, а предикаты Р определены формулами
(3) фактор-модель £/ту изоморфна Л4
Теорема 1. (Ершов Ю.Л. [27]) Если класс /Со относительно элементарно определим в классе 1С и теория Х7т(/Со) наследственно неразрешима, то теория ТЛ,(/С 1) также наследственно неразрешима.
К наиболее известным моделям с наследственно неразрешимой элементарной теорией относятся модель целых положительных чисел со сложением и умножением [25], модель целых положительных чисел со сложением и предикатом делимости [27], модель двух эквивалентностей [27]. В Коуровской тетради [32] А.И. Кокориным поставлена проблема 5.20: Разрешима ли элементарная теория решеток идеалов свободных абелевых решеточно упорядоченных групп? В работах [35], [46] получено отрицательное решение данной проблемы.
Пусть X - частично упорядоченное множество яУ С. X. Подмножество У называется выпуклым в X, если из неравенства уг < х < 7/2, где 2/112/2 € У, следует, что х € У. Напомним, что выпуклую /-подгруппу абелевой /-группы называют идеалом абелевой /-группы, и выпуклое подпространство векторной решетки, являющееся подрешеткой, называют идеалом векторной решетки.
Будем говорить, что идеал Р абелевой /-группы (векторной решетки) спрямляющий, если из того, что Р = IП J, где /, 7 - идеалы, следует, что либо Р = I, либо Р = J.
Известно [29], что множество идеалов абелевой /-группы (векторной решетки) образуют решетку, и любой идеал абелевой /-группы (векторной решетки) есть пересечение содержащих его спрямляющих идеалов.
Описание спрямляющих идеалов свободных векторных решеток и свободных абелевых /-групп дано в работе Д. Паити [24].

обладает следующими свойствами:
1) У ф Л,
2) Кщ(1) ~ связное множество,
3) В <У < А,
что противоречит нашему предположению. Поэтому КА{!) совпадает со связной компонентой Куу( 1) множества КВ{ 1)- Из минимальности А следует, что Кцг(2) = Км2), Лти(з) — л(з)- Доказательство обратного утверждения аналогично.
Ь) Формула (А)Стр(1) истинна в если и только если Л = 1 и как и в случае а), утверждение леммы справедливо. Пусть формула (А)Стр(В) истинна и В ф 1. Тогда -?бл(1) С КВ{) и снова по лемме 1.4.2 подмножество кт является связным подмножеством в КВ( 1). Тогда КАсодержится в некоторой СВЯЗНОЙ компоненте Кцг[) замкнутого подмножества КВ() и не совпадает с ней. Тогда Ку( 1) 0 и полагая
Кцг(2) — {{щ,и2)(щ,и2) € В(2),И1 6 -Кщ(1)},
Кщ{п) — {(«1,И2,
получаем, ЧТО набор (ЛДк(1) ДДк(2) > Щ(тг)) удовлетворяет условиям
- Дгб) §3 Главы 1, и идеал
и" = (П с«)п (П в-1-)-п (П С".»-».)
КУ(2) Кц?(п)
обладает свойствами 1) - 3) из доказательства части а), что противоречит предположению. Поэтому КА( 1) совпадает со связной компонентой /Гш(1) множества Кву Из минимальности А следует, что ГГ(2) = Кц2р-~* Кц/(п) — КА(пу Доказательство обратного утверждения аналогично. □
Пусть Ь = {С е СКпСТп [= Т’т(С')}.
Для А,ВеЬ положим
Л я В := (Л = Б) V (-(Л = П)&(ЗУ)(ЗИД(3(7)(т(У)&Г,т(ИД& &(ТЛ/(ЛУВ) = 1&(УЛ(ЛУД)) - Л)&(ИЛ/(ЛУ5) = 1&(ТИА(ЛУБ)) - £)& &(У > С)&(ГГ > С)&(УД)((Л)Стр(С) (МДТ» V У)&сМ1{В V ИД))).
Лемма 1.4.4. а) Формула А « В истинна в САп (п = 2,ЗД если и только если конечные мноэюества КАу и КВ( 1) содержат одинаковое число элементов.
Ъ) Формула А « В истинна в ИТп (п > 2), если и только если конечные множества КАу и КВ() содержат одинаковое число элементов.