Некоторые вопросы целостности L-функций числовых полей

• Автор: Кривобок, Валерий Викторович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 84 с.

Оглавление
Введение
1 Метод редукции к степенным рядам в теории А-функций числовых полей
1.1 К задаче описания целых функций, определяемых рядами
Дирихле, удовлетворяющих определенному порядку роста модуля . :
1.2 О граничном поведении степенных рядов, отвечающих А-
функциям числовых полей
2 Некоторые приложения метода редукции к степенным рядам в теории А-функций числовых полей
2.1 А-функции Дирихле и функциональное уравнение римановского типа
2.2 К проблеме обобщенных характеров
2.2.1 Гипотеза Н.Г. Чудакова и ее эквивалентные формулировки
2.2.2 Обобщенные характеры числовых полей и обобщенная гипотеза Н.Г. Чудакова
2.3 Расширенная гипотеза Римана; ее взаимосвязь с основной гипотезой
2.3.1 Постановка одной задачи В.Г. Спринджука
2.3.2 Об иной постановке задачи В.Г. Спринджука
2.3.3 Об одном условии, эквивалентном основной и расширенной гипотезам Римана
3 К задаче о целостности 1/-функции Артина
3.1 Характеры конечных неабелевых групп. Общие сведения
3.2 А-функции Артина, их свойства
3.3 Об одном уточнении теоремы Брауэра
3.4 Задача разложения на множители А-функций Дирихле числовых полей и ее связь с гипотезой Артина
3.5 Иные подходы в задаче о целостности А-функции Артина

3.5.1 Подход А.И. Виноградова в задаче о целостности Ь-функции Артина
3.5.2 Случай сверхразрешимой группы и теорема Блик-фельда
3.5.3 Индуктивный подход в задаче о целостности Ь-функции Артина
Заключение
Литература

Введение
В последние годы в работах В.Н. Кузнецова и его учеников был разработан метод исследования аналитических свойств функций, заданных рядами Дирихле — метод редукции к степенным рядам, который позволил выразить отдельные аналитические свойства этих функций в терминах граничных свойств соответствующих степенных рядов. Этот метод позволил получить новые результаты в теории классических А-функций Дирихле, что нашло приложение в решении отдельных теоретико-числовых задач.
Данная работа посвящена продолжению исследований в данном направлении и получении подобных результатов для А-функций числовых полей, включая А-функции Дирихле и А-функции Артина.
Нужно сказать, что исследования, связанные с развитием метода редукции к степенным рядам, проводятся в данной работе для целых функций. Поэтому, что касается А-функций Артина, то в работе в ряде случаев решается задача о целостности А-функций, возникающих в случае неабелевых расширений Галуа основного поля, а за одно показывается, что для таких А-функций возможно получить результаты такие же, как и в случае А-функций Дирихле числовых полей.
Остановимся более подробно на вопросах, связанных с постановкой задач и их решением в данной диссертации.
Основные положения метода редукции к степенным рядам были разработаны в работах В.Н. Кузнецова в конце 70-х годов [1,2]. Рассмотрим ряд Дирихле

= 8 = ог + И, (1)
—' ТЬ п—>оо

и соответствующий ему (с теми же коэффициентами) степенной ряд

д{г) = 2апгп. (2)

В [1,2]. было показано, что поведение соответствующего степенного ряда (2) на границе круга сходимости позволяет судить о некоторых аналитических свойствах рядов Дирихле (1). Нужно сказать, что для определенных классов степенных рядов, например, рядов с конечнозначными

Лемма 1.8. Пусть абелево расширение Галуа Ь поля к не содержит корней р-й степени из единицы, а Ь — циклическое круговое расширение поля к, определенное в лемме 1.4. Тогда расширение к С ЬоЬх, где ЬоЬ — композит полей, является расширением Галуа, группа Галуа которого изоморфна прямому произведению групп С? х С?1, где б? — Оа1(Ь/к), (Д — Са1{Ь/к).
Доказательство При условиях леммы 1.8 расширения Ь и Ь являются линейно разделенными расширениями, и утверждение леммы 1.8 следует из общего факта, имеющего место для линейно разделенных расширений [29].
Лемма 1.9. Пусть % — характер Дирихле числового поля к модуля т, согласованный с группой Галуа абелева расширения к С Ь, где поле Ь не содержит корней степени р из единицы. Тогда ряд Дирихле вида
(Рс.Ла)= 53 ва + и, (1.31)
аеС.
ЛГ(а)=;(тоя! ра)
где С{ — класс смежности относительной группы классов идеалов Ат/Нт, продолжим мероморфным образом на комплексную плоскость с единственным простым полюсом в точке 5 = 1.
Доказательство Рассмотрим сначала случай, когда в формуле (1.31) (1,р) = 1.
Пусть хч ~ характер Дирихле поля к модуля тх, соответствующий абелевому расширению к С ЬоЬ, где тх — т (ра) и где Ь — циклическое круговое расширение поля к степени ра. В силу леммы 1.8 и леммы 1.6 характер Хч имеет вид
ха(«) = »(»)-“ад. (о,пч) = 1, (1.32)
где Хз ~ характер Дирихле поля к, согласованный с группой Галуа расширения к С Ь.
Для Г-функции Дирихле с характером вида (1.32) получаем следующее представление:
ЬзМ = 55 53 Хз(Сэ)ерс:Лз)- (1-33)
С, 11'р“
(/',р)
Это равенство получается на основании того факта, что когда N(0) по модулю ра пробегает приведенную систему вычетов, то и тс?(ЛГ(а)) пробегает