О верхних центральных рядах группы автоморфизмов и примитивных элементах свободных метабелевых алгебр Ли

• Автор: Кабанов, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 59 с.

Содержание
Введение

1. Основные определения и предварительные сведения

1.1. Алгебры

1.2. Автоморфизмы и эндоморфизмы

1.3. Группы

1.4. Дифференцирования Фокса

2. Гиперценгральная структура группы унитреугольных автоморфизмов свободной метабелевой алгебры Ли

2.1. Центр группы унитреугольных автоморфизмов

2.2. Верхние центральные ряды группы унитреугольных автоморфизмов

2.3. Матричная представимость группы унитреугольных автоморфизмов

3. Строго неручные примитивные элементы свободной метабелевой алгебры Ли ранга
3.1. Матрицы Якоби 1А-эндоморфизмов
3.2. 1А-автоморфизмы
3.3. Примитивные строго неручные элементы
4. О скрученной сопряженности элементов нильпотентных алгебр Ли
4.1. Случай конечномерного линейного пространства
4.2. Случай конечно порожденной нильпотентной алгебры Ли
Список литературы

Введение
Основной целью настоящей диссертации является исследование вопроса о наличии в свободной метабелевой алгебре Ли ранга 3 над произвольным полем строго неручных примитивных элементов и исследование гиперцентрального ряда группы унитреугольных автоморфизмов для свободных метабелевых алгебр Ли произвольного ранга над произвольным полем. Кроме того, в работе исследуется проблема скрученной сопряженности и ее классы эквивалентности в конечно порожденных нильпотентных алгебрах Ли над полем, допускающим эффективные вычисления.
Исследование алгебр Ли и их автоморфизмов является классической задачей алгебры. Норвежский математик Софус Ли в конце XIX века впервые рассмотрел алгебры, названные потом его именем, в связи с теорией непрерывных групп преобразований. Основным результатом последней является сведение "локальных" задач, относящихся к группам Ли, к соответствующим задачам теории алгебр Ли, т. е. к задачам линейной алгебры. Каждой группе Ли сопоставляется алгебра Ли над полем вещественных и комплексных чисел, и устанавливается соответствие между аналитическими подгруппами группы Ли и подалгебрами ее алгебры Ли, при котором инвариантным подгруппам соответствуют идеалы, абелевым подгруппам - абелевы подалгебры и т.д. Изоморфизм алгебр Ли эквивалентен локальному изоморфизму соответствующих групп Ли.

Введение соответствующих алгебр Ли оказалось полезным при изучении двух других разделов теории групп. Первым из этих разделов является теория свободных групп, которую можно изучить при помощи свободных алгебр Ли, пользуясь методом, впервые предложенным Магнусом. Хотя эта связь не такая тесная, как в теории Ли, применение алгебр Ли привело к важным результатам относительно свободных групп и других классов абстрактных групп. В частности, необходимо отметить результаты по так называемой ослабленной проблеме Бернсайда: ограничены ли порядки конечных групп, имеющих фиксированное число г образующих и удовлетворяющих соотношению хт = 1, где т - фиксированное положительное целое число? Стоит указать, что важную роль в этих приложениях к теории абстрактных групп играют алгебры Ли простой характеристики [41, 44].
Тип соответствия между подгруппами группы Ли и подалгебрами ее алгебры Ли, который возник в теории Ли, имеет точный аналог в теории Шевалле линейных алгебраических групп. Линейная алгебраическая группа является, коротко говоря, подгруппой группы невырожденных квадратных матриц порядка п, определенной системой полиномиальных уравнений, которым удовлетворяют элементы этих матриц. Примером является ортогональная группа, определяемая системой уравнений

Т,аисс1к = 0, ],к = 1,К ,п относительно элементов аи матрицы (а).

Шевалле определил для каждой алгебраической группы соответствующую алгебру Ли [24], дающую полезную информацию о группе. Эта информация является исчерпывающей в теории линейных алгебраических групп над полем характеристики нуль.
Алгебры Ли прочно вошли в математику. Их теория благодаря вниманию многих выдающихся математиков обогатилась целым рядом тонких и красивых результатов, влияние которых простирается далеко за

других элементов можно доказать по индукции с помощью дифференцирования по соответствующей переменной. Лемма доказана.
Следствие 1. Пусть (р,у/ е 1АЕп(Ш п и . Тогда
(р, у/ е 1АШ:Мп и (р = у/~1.
Определим стабилизатор
={Ае СЬп{Рп)А-{Ь„
Лемма 7. Пусть А&$Х&Ъ(Ь1
Доказательство. Пусть А — Е + (а:/). Так как

для любого i имеем
аЛ+- + аЛ = 0.
2 Эм.
Докажем существование и1 е Мп такого, что —- - а.., 1 < ]< п.

Доказательство ведем по индукции. Если п = 1, то аиЬ1 =0, откуда аи =0. В этом случае м1 можно взять равным 0. Пусть п > 1. Запишем а в виде а у = СуЬп +с1.1Г где й не содержит Ъп. Тогда
Т.с ЬпЬ +ашЬп+'£с1Ъ1 =0.