Надгруппы исключительных групп

• Автор: Лузгарев, Александр Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Содержание
Содержание
Введение
Глава 1. Нормализатор группы Шевалле типа Еб
1.1. Предварительные сведения о группах Шевалле
1.2. Микровесовые представления исключительных групп
1.3. Инвариантная кубическая форма
1.4. Вычисление нормализатора группы Шевалле типа Еб
1.5. Экспликация уравнений
Глава 2. Надгруппы исключительных групп в минимальных представлениях
2.1. План доказательства
2.2. Построение нижнего уровня
2.3. Совпадение идеалов
2.4. Доказательство леммы
2.5. Окончание доказательства предложения
2.6. Доказательство предложения
2.7. Вложение Е(Ет,Е) в симплектическую группу
2.8. Доказательство предложения
2.9. Доказательство предложения
Глава 3. Надгруппы Г4 в Ео
3.1. Группа Шевалле типа И4
3.2. Элементарные подгруппы и локализация
3.3. Изучение уравнений в С(Ее, Я)
3.4. Параболические подгруппы
3.5. Вычисление нормализатора Е(¥4, Я) в С{Е&, Я.)

3.6. Относительные группы и нижний уровень
3.7. Нормализатор промежуточной подгруппы
3.8. Функтор локализации
3.9. Извлечение корневого элемента из унипотентных радикалов
3.10. Извлечение корневого элемента из параболических подгрупп
3.11. Извлечение корневого элемента: окончание
3.12. Доказательство теоремы С
Список литературы

Введение
Настоящая диссертация посвящена изучению надгрупп исключительных групп Шевалле в различных естественных вложениях.
Линейные алгебраические группы и, в частности, группы Шевалле, активно изучаются с середины прошлого столетия. Этой теме посвящено огромное количество статей и монографий. Основы современного подхода к теории линейных алгебраических групп были заложены в статьях Колчина [50], [51], Шевалле [26], [73] и Бореля [36] в 50-е годы XX века. Одной из ключевых характеристик этих работ было рассмотрение групп над полем произвольной характеристики. Уже в работах [26], [39] были построены групповые схемы над Z, соответствующие группам Шевалле над полем, что открывало возможности для изучения алгебраических групп над произвольным кольцом. Еще более широкое обобщение было достигнуто в рамках языка групповых схем; в частности, результаты Шевалле [26], [73] были перенесены на редуктивные групповые схемы М. Демазюром и А. Гротендиком в SGA [41]
Задача описания промежуточных подгрупп занимает одно из центральных мест в изучении алгебраических групп. Для случая алгебраически замкнутого поля, как правило, возможно полное решение разнообразных задач описания промежуточных алгебраических подгрупп, но уже при переходе к произвольному полю некоторые вопросы, типа классификации всех максимальных подгрупп в (изотропных) полупростых группах становятся заведомо бессмысленными.
Важным общим контекстом для рассмотрения подобных задач, предлагающим схему классификации максимальных подгрупп алгебраических групп, является subgroup structure theorem Майкла Ашбахера ([28], [29], [30], [49], [56]) и особенно интересные в нашей ситуации обобщения на исключительные группы, полученный Мартином Либеком и Гари Зейтцем ([69], [55], [70], [71],
-34-
в леммах 2.6, 2.8 и 2.9; в них разобраны, соответственно, случаи о?(Л, р) = г, г — 1, 2, 3. Очевидно, что в нашем представлении 2 пяр 3 — это максимальное расстояние между весами, и предложение доказано, как только проверена справедливость следующих лемм.
В дальнейшем везде С € Я, £ £ А. Мы будем пользоваться следующим прямым вычислением:
ЯА/1& С) = а(СМ6а(
= (е + Сел)(е + £еЛ/1)(е - Семл)
= е + ®Аа) ес
Лемма 2.6. Пусть с?(Л, р) = 1. 2Ьг<Лг £ Н для любых р, а € Л.
В частности, щДС, С) £ Я.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай р = Л, сг = р. Обозначим р — Л = «еФи рассмотрим
Жа(0Д/ДС) = Жа(С)4А/ДОз;а(-С) е Я.
Из леммы 1.6 легко видеть, что
Р “З'аСОЯ/Д?) — 6 + ± СеА1А 'I" ,( 1) ‘Се1+<ад>

где щ, г/2
После этого осталось домножить получившееся на жа(—С) и проследить за матричными элементами. Очевидно (см. снова лемму 0), подвергнутся изменению только элементы в позициях (т, т'), для которых т,т',т' + а £ А. Но мы уже знаем все такие т для которых и т', и т' + а являются весами: это в точности Л, 1/1