Корни Артина абелевых многообразий и представления группы Вейля-Делиня

• Автор: Сабитова, Мария Наилевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с.

Оглавление
Введение

1 Корни Артина абелевых многообразий над локальными неархимедовыми полями нулевой характеристики
1.1 Общие факты и обозначения
1.2 Случай абелева многообразия с потенциально хорошей редукцией
1.3 Общий случай
2 Корни Артина абелевых многообразий над числовыми полями (теорема А)
2.1 Доказательство теоремы А
2.2 Специальный случай теоремы А
3 Представления группы Вейля—Делиня (теорема Б)
3.1 Представления с неприводимыми цоколями
3.2 Доказательство теоремы Б
3.3 Приложение теоремы Б
А Доказательства предложений 9, 10 и
В Две вспомогательные леммы
С Пример неприводимого ортогонального представления с индексом Шура над равным
Б Доказательство предложения
Е Лемма о разложении представления ер (тп) 0 эр (л) на неразложимые компоненты
Заключение

Литература
Введение
1. История вопроса
Теория А-функций и е-функций является обобщением классической теории дзета-функций и восходит к работам Гекке и Хассе начала прошлого столетия (см. [68], [67]). По аналогии с классической теорией рациональных чисел, А-функции вводятся при доказательстве теорем о распределении простых идеалов в полях алгебраических чисел. В свою очередь, теория е-функций возникает в связи с необходимостью исследования функциональных уравнений для А-функций.
В 20-х гг. прошлого века Гекке обобщил классическое функциональное уравнение для обычной дзета-функции на случай А-функции с характерами групп идеалов полей алгебраических чисел (см. [68]). Спустя 30 лет Тэйт в своей диссертации обобщил результаты Гекке, — он вывел функциональное уравнение для Т-функций с мультипликативными характерами локальных полей, что позволило определить соответствующие б-функции для характеров локальных полей (см. [81], гл. XIV).
С развитием локальной теории полей классов (Вейль, Артин) стало возможным отождествить характеры локального поля К с одномерными (комплексными) представлениями группы Вейля У?{К/К) этого поля посредством изоморфизма Артина: Кх = УУ(К/К)аЬ, где Кх = СГДАТ) и У(К/К)аЬ есть фактор-группа группы УУ(К/К) по замыканию ее коммутатора, которая естественным образом отождествляется с группой одномерных характеров группы У?{К/К). Таким образом, с помощью изоморфизма Артина можно определить А-функцию и б-функцию для одномерных представлений группы УУ(К/К). Это обстоятельство послужило толчком к дальнейшему обобщению понятия А-функции, теперь уже для представлений группы УУ(К/К) произвольной размерности (Артин [2], см. также [136]).
Построение соответствующего обобщения б-функции является гораздо более сложной задачей, так как в одномерном случае определение б-функции, в отличие от А-функции, существенно опирается на изоморфизм Артина. Пытаясь обобщить изоморфизм Артина и б-функцию на случай

конечных групп с индексом Шура над полем рациональных чисел, равным 2 (см. приложение С).
2.2 Специальный случай теоремы А
Пусть Р — числовое поле и т — непрерывное комплексное представление группы ОаЦ-Р/Н). Кондуктором Т1(т) представления г будем называть идеал кольца Ор целых элементов поля Р, определенный формулой

где V пробегает все конечные простые дивизоры поля Р и ру означает простой идеал кольца Ор, соответствующий дивизору V. Если А — абелево многообразие над Е, то определим кондуктор-9Т(А) многообразия А формулой
и(л)= П р“К)-
V конечно
Будем говорить, что V делит кондуктор 0Т(т) или 9Т(А), если, соответственно, а{ту) ф 0 или о(и') ф 0.
В этом параграфе исследуется специальный случай теоремы А, когда вычисление рассматриваемого локального корня Артина оказывается особенно простым. В этом случае кондукторы многообразия А и представления т взаимно простые, т. е. каждый конечный простой дивизор V поля А не делит одновременно *Л(А) и 9Т(г).
Предложение 24. Предположим, что представление т имеет четную размерность и вацественнозначный характер. Если кондукторы 9Т(А) и 9Т(т) взаимно простые, то корень Артина И/’(Ау,ту), ассоциированный с Ау = А Хр Е„ и Ту, определяется формулой
{1, если и не делит 0Т(т) и (А) или и — оо,
(МТу(хЯу)аА«') если и делит 9Т(А), сМт„(—I)5, если и делит У1(т),
где ъОу — простой элемент кольца целых элементов поля Е„ и д = сНт А
Доказательство. Если и = оо, то ¥(Ау, гф) = 1 по лемме 20. Предположим, что и < оо и V не делит 9Т(А). Тогда о(сг') = 0. Из определения
1Это предложение было без доказательства высказано Б. Гроссом в частном письме автору.