Корневые элементы в исключительных группах

• Автор: Певзнер, Игорь Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 149 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Группы Шевалле, их элементы и подгруппы
§ 1. Основные обозначения
§ 2. Корни и веса
§ 3. Корневые элементы
§ 4. Некоторые подгруппы
Глава 2. Корневые и унипотентные подгруппы
§ 5. Корневые элементы и сингулярные подпространства
§ 6. Тройки корневых подгрупп
§ 7. Унипотентные элементы
Глава 3. Произведения корневых элементов
§ 8. Произведения
§ 9. Теорема о невырожденности
§ Ю.Основная теорема
Список литературы

Введение
Настоящая работа содержит два основных результата. Первый из них, более простой и часто используемый, относится к геометрии алгебраических групп. А именно, пусть G = GSC(E6,К), а V — минимальный 27-мерный модуль, на котором действует G. Тогда при п — 1,2,3,4 или 6 естественное действие G на множестве n-мерных сингулярных подпространств является транзитивным (то есть, имеет всего одну орбиту); при п — 5 у такого действия ровно две орбиты (теорема 3). Из этого легко следует, в частности, что отображение из множества корневых подгрупп в множество шестимерных сингулярных подпространств, переводящее корневую подгруппу X в подпространство Vх = V9 — Im(g — Е) для произвольного неединичного д € X, является изоморфизмом; при этом действие группы G на множестве корневых подгрупп сопряжением переходит в естественное действие G на множестве шестимерных сингулярных подпространств.
Второй основной результат настоящей работы посвящен нахождению ширины присоединенной группы типа Еб относительно множества корневых элементов. А именно, нами доказана следующая теорема:
Теорема. Предположим, что в поле К любой многочлен степени не выше шестой имеет корень. Тогда любой элемент группы С7аа(Еб,АГ) представляется в виде произведения не более восьми корневых элементов.
Прежде чем переходить непосредственно к обсуждению этих результатов в соответствующем контексте, кратко опишем историю возникновения алгебраических групп.

1. Группы Шевалле
Пожалуй, самым обширным и разветвленным разделом современной алгебры является теория групп. Восходящая к Э. Галуа и Р. Абелю, она является также истоком всей алгебры. Активно изучающаяся с момента своего появления два века назад, она и поныне остается одной из самых быстрораз-вивающихся областей математики. По теории групп написаны много тысяч статей и, к сожалению, даже простое перечисление выдающихся авторов, занимающихся ею, в данном месте невозможно.
Одним из самых ранних разделов теории групп является теория конечных групп движений. Она берет начало в исследовании свойств “регулярности” и “симметрии” геометрических фигур и, в особенности, в описании правильных многоугольников и многогранников, восходящем к пифагорейцам. Позднее, у арабских математиков конца средневековья, из изучения различных типов орнаментов возникли зачатки теории правильных “покрытий” плоскости. В первой половине девятнадцатого века исследования по кристаллографии привели к изучению проблемы описания конечных групп движений трехмерного пространства. Примерно в это же время математики освоились с линейными и проективными преобразованиями. Вышедшая в 1868-1869 годах работа К. Жордана объединила обнаруженные ранее факты о группах движений в единую теорию.
В конце 60-х - начале 70-х годов девятнадцатого века зарождается одна из важнейших частей современной алгебры и математики в целом — теория групп Ли. Датой ее появления можно считать 1869-1870 годы, когда выходит работа С. Ли под редакцией Ф. Клейна, в которой Ли использует инвариантность комплекса Рея относительно действия некоторой группы.
В последующие годы он активно развивает свою теорию. С 1886 по 1898

ра пространства V; соответственно, базисные ковектора будут обозначаться через вг, где г £ Л.
3. Трилинейная форма и 3-форма
Пусть V — V(zü ) — 27-мерный модуль для группы Шевалле G = Gsc (Eß, R). Тогда существует трилинейная форма F : V х V х V —> R, такая, что G является группой изометрий F, т.е., иными словами, G совпадает с группой всех д £ GL(V,R), таких, что F(gu,gv, gw) — F(u,v,w) для всех u,v,w £ V.
Впервые форма F появилась в работах Диксона в 1901 году. В дальнейшем ее активно изучали и использовали Шевалле, Фрейденталь, Спрингер, Тите, Селигман, Джекобсон, Фельдкамп, Коэн, Куперстейн и многие другие (см. [16] и [15] для дальнейших ссылок). Вначале она изучалась над полями нулевой характеристики, а в дальнейшем была обобщена на произвольные поля с характеристикой не равной 2 и 3. Априори при необратимых 2 или 3 могут возникать проблемы, однако, как показал Ашбахер [55], [56], [57], [58], [59], [60] этого не происходит. Более того, как показано в [187], форму F можно рассматривать над произвольным коммутативным кольцом, но в настоящей работе нас интересует только случай поля.
В действительности, Ашбахер в своих работах использует 3-форму 3" = (Т, Q,F), где Т — кубическая форма, Q — ее частичная поляризация, а F — ее полная поляризация. Более подробно, 3-форма $ — это тройка (Г, Q,F), такая, что:
(1) F — трилинейная форма;
(2) Q : V х V —» К линейно по первой переменной и удовлетворяет равенствам Q(x,ay) = a2Q(x,y) и Q(x,y + z) — Q(x,y) + Q(x,z) +
F(x, у, z) для всех а & К н х,у, z €V;