Градуированные пары редуктивных комплексных супералгебр Ли

• Автор: Сударкин, Андрей Вадимович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 65 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Гл. 1. Определение и простейшие свойства градуированных пар 5 §1. Предварительные сведения
§2. Градуированные пары редуктивных супералгебр Ли 7 §3. Градуированные пары редуктивных алгебр Ли
Гл. 2. Классификация Д-градуировок первого типа простых супералгебр Ли серии А
§1. Предварительные сведения. Случай, когда алгебра Ли дд имеет непростой коммутант

§2. Случай, когда алгебра Ли д5 имеет простой коммутант
Гл. 3. Классификация Д-градуировок второго типа простых супералгебр Ли серии А
§1. Предварительные сведения и леммы
§2. Случай, когда 22-градуировка коммутанта алгебры Ли до есть сумма нетривиальной и тривиальной йг-градуировок
§3. Случай, когда Ж2-градуировка коммутанта алгебры Ли дд есть сумма двух нетривиальных 22-градуировок
§4. Случай, когда алгебра Ли до имеет простой коммутант
Гл. 4. Градуированные пары и параболические подалгебры 56 §1. Параболические подалгебры редуктивных супералгебр Ли, их связь с градуированными парами
§2. Параболические подалгебры супералгебр Ли д1т|„, определяемые их Д-градуировками
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Понятие алгебры Ли, градуированной некоторой неразложимой системой корней, было введено в работе [3]. В работе Нерви [8] была дана классификация всех градуировок простых комплексных алгебр Ли системами корней их простых подалгебр, основанная на связи, существующей между такими градуировками и параболическими подалгебрами объемлющей алгебры Ли. В этой работе отмечена также связь, существующая между градуировками системами корней и парами Хау (или дуальными парами) редуктивных подалгебр простой алгебры Ли, классификация которых была дана в [9].
В ряде работ, появившихся в последнее время (см., например, [2,1]), понятие алгебры Ли, градуированной системой корней, было обобщено на случай супералгебр Ли. В них получено описание произвольных, не обязательно конечномерных, комплексных супералгебр Ли, градуированных системами корней их классических простых подалгебр. В то же время естественным обобщением результата работы [8] была бы классификация классических простых супералгебр Ли, градуированных системами корней их классических простых подалгебр. Этому вопросу и посвящена настоящая диссертационная работа.
Основными научными результатами диссертации являются следующие результаты:
1. Изучены общие свойства градуировок редуктивной комплексной супералгебры Ли системами корней ее редуктивных подалгебр. Установлены связи этих градуировок с 22-градуировками четной части супералгебры Ли, позволяющие свести задачу их классификации к аналогичной задаче для полупростых алгебр Ли.
2. Дана классификация градуировок простых супералгебр Ли серии А системами корней их классических простых подалгебр.
3. Установлена связь изучаемых градуировок редуктивной комплексной супералгебры Ли с параболическими подалгебрами этой супералгебры. Описаны параболические подалгебры простых супералгебр Ли в(т,п), связанные с их градуировками системами корней классических простых подалгебр.
Развитые в работе методы могут быть использованы для классификации градуировок и других классических простых комплексных супералгебр Ли, а также применены к задаче классификации пар Хау их редуктивных подалгебр (примеры таких пар известны в настоящее время лишь для ортосимплектических супералгебр Ли, см. [5]).
Перейдем к изложению содержания диссертации.

Первая глава работы начинается с основных определений. В §1 определяются рсдуктивные комплексные супералгсбры Ли (это понятие, введенное в [6], естественно обобщает классическое понятие редуктивной комплексной алгебры Ли; простая конечномерная комплексная супсрал-гебра Ли редуктивна тогда и только тогда, когда она является классической в смысле В.Г, Каца [7]). Рассматриваются корневое разложение и система корней редуктивной супералгебры Ли относительно подалгебры Картана ее четной части. В §2 вводится основное для дальнейшего понятие комплексной супералгебры Ли д, градуированной системой корней ее редуктивной подалгебры д (в этом случае говорят также, что пара (д, д) является градуированной) и устанавливаются некоторые простейшие свойства, связанные с этим понятием. В случае, когда д также редуктивна и в четных частях обеих супералгебр Ли выбраны

подалгебры Картана () Э (), определено естественное отображение ограничения тг :()*—>() . Пусть Д и Д — соответствующие системы кор-

ней. Если пара является градуированной, то 7г(Д и {0}) = Д и {0}, а в случае, когда д проста, верно и обратное. С каждой градуированной парой редуктивных супералгебр Ли связывается 22-градуировка до = и ф 0 редуктивной алгебры Ли дд, где и — редуктивная подалгебра максимального ранга, соответствующая подсистеме четных корней в Д, переходящих в четные корни подалгебры или в 0, а 0 — подпространство, соответствующее четным корням из Д, переходящим в нечетные корни подалгебры, не являющиеся четными. При этом коммутант алге-

бры Ли дд составляет градуированную пару с некоторым полупростым идеалом в и. Тем самым градуированные пары редуктивных супералгебр Ли разбиваются на два типа, отвечающие случаям, когда и = дд и когда и ф дд. Эта конструкция позволяет в какой-то мере свести классификацию градуированных пар к хорошо известной классификации йг-градуировок редуктивных алгебр Ли и к классификации градуированных пар полупростых алгебр Ли. В §3 объясняется, каким образом последняя классификация сводится к классификации градуированных пар простых алгебр Ли, и излагаются используемые в дальнейшем результаты работы [8]. Для полноты изложения здесь дается также короткое доказательство результата этой работы, относящегося к Д-градуировкам алгебры Ли д[(п), не использующее техники, развитой в [8].'
Г лавы 2 и 3 содержат формулировки и доказательства основных результатов работы, т.е. классификации (с точностью до изоморфизма) градуированных пар (д,д), где д — простая супералгебра Ли серии А, ад — ее классическая простая подалгебра. При этом используется метод, описанный в главе 1. В главе 2 классифицируются градуирован-

Поэтому Уик+1и2 = У*+1,1 их = Яр, откуда Ух.к+х = 14, У*+1,х = 14- С другой стороны,
[У, У] = <д(еи + = Еи ® Ер + Ек+1,к+1 ® Ер.
Отсюда следует, что 1414 = 1414 = Ер, так что
Пусть 1У 6 ОЬ(р) — такая матрица, что 1У2 = 14 = (/2. Рассмотрим следующие блочно-диагональные матрицы порядка кр А = сШщ(И/Г1~1
Как и в случае а), д = з{к, I), это рассуждение позволяет также доказать, что градуированных пар вида (я1(т, п), рзд(А;)) в пашем случае не существует.
Будем теперь предполагать, что т — п и д — редуктивная подалге-
О1 О
бра, содержащая 3, причем супералгебра Ли д = д/з проста. Для всех
ТТ °1
рассмотренных в этом пункте типов супералгебры Ли д , кроме типа С}, соответствующих градуированных пар не существует. Для доказательства достаточно применить использованные выше рассуждения к
ОI О
паре (рд[(д, п.),д ). Рассмотрим случай, когда д = к > 3.

В нашем случае градуированная пара (д', д ) — это пара вида (рзЕ(п, п), рвц(Л;)). Из теоремы 1.1 вытекает, что п = кр, где р — натуральное число. Более того, заданная пара изоморфна паре такого же вида, построенной выше. Для доказательства этого факта обозначим через <р' : РЭД(&) —> рг((п, п) заданный гомоморфизм вложения и через <р : яч(&) —> 51(п,п) — гомоморфизм, определенный формулой X н-> X ® Ер. Используя рассуждения, аналогичные примененным выше, можно показать, что существует такой внутренний автоморфизм 7 супералгебры Ли д((п, п), что гомоморфизм <рх = 7 о <р удовлетворяет условию р о — 1р‘ ор, где р : д((п, п) —> рз[(га, п) и р : sq(k) —» рзд(й) — естественные гомоморфизмы. Ясно, что р07 = 7'Ор, где 7' — некоторый автоморфизм супералгебры Ли рз[(?г, п). Тогда 7'оро<р = ро= <р'ор, откуда р о р = (7'-1 о о р. Значит, наша пара изоморфна паре, определенной гомоморфизмом (р. Таким образом, мы можем считать, что д = p((sq(fc)), где гц(к) вложена в д = з1(п, п) при помощи отображения X ь-> X ® Ер. Отсюда нетрудно вывести, что дх = дч(/с)1- Но, как было

отмечено выше, мы можем считать, что д порождается своей нечетной частью. Тогда д = зс(к), и наша градуированная пара совпадает с одной из построенных выше.