Векторные поля на супермногообразиях флагов

• Автор: Вишнякова, Елизавета Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 87 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
§1. Супермногообразия и супергруппы Ли
§2. Примеры супергрупп и супералгебр Ли
Глава 2. Однородные супермногообразия и однородные суперрасслоения
§3. Структура однородных супермногообразий
§4. Суперрасслоения и проектирование векторных полей
Глава 3. Супермногообразия флагов
§5. Определение супермногообразий флагов
§6. Применение теоремы Бореля-Вейля-Ботта для
супермногообразий флагов
§7. Функции на супермногообразиях и Еч,(Чп(С))
Глава 4. Векторные поля на супермногообразиях флагов
§8. Векторные поля на супермногообразиях флагов, основной
случай
§9. Супермногообразие флагов, связанное с супералгеброй Ли

9.1 Вычисление Кег V
9.2 Вычисление 1т Г
§10. Некоторые исключительные случаи
10.1 (В, Ов) является исключительным суперграссманианом
10.2 (Р, Ор) является исключительным суперграссманианом
§11. Основной результат
Список литературы

Введение
Известно, что все голоморфные векторные поля на многообразии флагов заданного типа в С" являются фундаментальными для естественного действия на нем группы GL„(C), так что алгебра Ли таких полей естественно изоморфна рд(„(С). Аналогичное утверждение, за немногочисленными исключениями, справедливо для многообразий флагов, изотропных относительно невырожденной симметрической или кососимметрической билинейной формы в Сп. Этот результат был получен А.Л. Онищиком в 1959 г. (см. [13]).
В 80-х годах прошлого века Ю.И. Манин [1] построил четыре серии комплексных супермногообразий флагов, связанных со следующими четырьмя сериями классических линейных супералгебр Ли д:
(i) g!m|n(C) — супералгебра Ли всех линейных преобразований векторного суперпространства Ст1",
(ii) ospm|n,(C) (при четном п) — подалгебра операторов из gIm|„(C), аннулирующих невырожденную четную симметрическую билинейную форму ß В Cmln,
(iii) 7rspn(C) (при m = п) — подалгебра операторов, аннулирующих невырожденную нечетную кососимметрическую билинейную форму ß в С"!",
(iv) qn(C) (при т — п) — подалгебра операторов, перестановочных с нечетным инволютивным линейным преобразованием П в СПК
Настоящая работа посвящена вычислению супералгебр Ли голоморфных векторных полей на этих супермногообразиях. Оказывается, что при некоторых ограничениях на тип флагов все эти поля являются фундаментальными для естественного действия соответствующей супергруппы Ли.
Изучение супералгебр Ли голоморфных векторных полей на супермногообразиях флагов длины 1, т.е. на супермногообразиях Грассмана, было начато в 90-х годах прошлого века в работах А.Л. Оншцика и A.A. Серова. Точнее, в работе [2] задача вычисления отой супералгебры Ли была решена для суперграссманиа-нов, связанных с супералгеброй Ли g[m|n(C). Далее, в [3, 4] была исследована су-нералгебра Ли голоморфных векторный полей на изотропных суперграссманиа-нах максимального типа, связанных с супералгебрами Ли олрт|2п(С) и тгярп(С). Супералгебра Ли голоморфных векторный полей на супермногообразиях Грассмана, связанных с супералгеброй Ли q„(C), была вычислена А.Л. Онищиком в [5]. Некоторые исключительные случаи были исследованы также В.А. Буиеги-ной [10], А.Л. Онищиком [11] и A.A. Серовым [9].
Основной целью работы является вычисление супералгебры Ли голоморфных векторных полей на супермногообразиях флагов, связанных с различными классическими линейными супералгебрами Ли, с использованием указанных выше результатов о голоморфных векторных полях на супермногообразиях Грассмана.
В диссертации получены следующие основные результаты:
1. Разработан общий метод вычисления супералгебры Ли голоморфных векторных полей на тотальном пространстве однородного суперрасслоения по

известным супер алгебрам Ли голоморфных векторных нолей на его базе и слое.
2. На случай комплексных однородных супермногообразий перенесена классическая теорема о представлении однородного пространства группы Лп в виде факторпространства этой группы по стабилизатору точки.
3. Вычислены супералгебры Ли голоморфных векторных полей на комплексных супермногообразиях флагов длины г > 1 в следующих случаях:
а) 0 = 0т|п(<С) — при некоторых ограничениях на тип флагов,
б) 0 = 05рт|п(<С), тгдрп(С) — при условии, что максимальное полотнище флага есть вполне изотропное относительно (3 подпространство наибольшей возможной размерности (супермногообразия изотропных флагов максимального типа),
в) 0 = 0П(С) — без ограничений на тип флагов.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Первая глава носит вводный характер. В ней излагаются основные понятия теории комплексных супермногообразий и супергрупп Ли. Даются определения действия супергруппы Ли на супермногообразии, инвариантного подсупермно-гообразия, транзитивного действия. В качестве примеров обсуждаются упомянутые выше классические линейные супералгебры Ли 0 и определяются соответствующие линейные супергруппы Ли.
Вторая глава начинается с общей теории комплексных однородных супермногообразий. Пусть (С?, Ой) — комплексная супергруппа Ли, а (Я, Он) - ее замкнутая подсупергруппа Ли. Тогда на многообразии Є/Н определяется структура комплексного супермногообразия (Є/Я, Оа/н)> такая что естественное действие группы Ли С? на (З/Я продолжается до транзитивного действия супергруппы Ли (Є,Ос) на (<3/Н,Ос/п)~ Доказывается, что если (М, Ом) — любое (Є, С-однородное супермногообразие и (Сх,Оах) — стационарная подсупергруппа Ли точки х Є М, то существует ((3, 0<з)-эквивариантный изоморфизм ((З/СЗг, Оо/с) —> (М, Ом)- В случае вещественных гладких супермногообразий доказательство этих утверждений было дано в работе Б. Костанта [15].
Во второй главе изучаются голоморфные векторные поля на суперрасслоениях. Обозначим через о(М,Ом) супералгебру Ли голоморфных векторных полей на супермногообразии (М,Ом). Пусть р : (М, Ом) —* {В, Ов) — проекция суперрасслоения с компактным слоем (Я, Ои), удовлетворяющим условию Од(Я) = С (условие М. А. Башкина проектируемое™ векторных полей на базу), и пусть УУ — прямой образ при морфизме р пучка вертикальных (т.е. проектируемых в 0) векторных полей па (М, Ом)- Пучок IV — это локально свободный пучок Од-модулей, причем УУ(Я) — идеал всех вертикальных векторных полей в й(М, Ом)- По этому пучку строится локально свободный градуированный пучок УУ = ©р>0УУр модулей над структурным пучком многообразия В, который отождествляется с пучком голоморфных сечений некоторого градуированного

где т — нечетная размерность супермногообразия (В, О в)- Напомним, что Тв = Ов/Дв (см. §1). Полагая УУ(Р) = получаем фильтрацию
УУ = УУ(0) Э УУ{1) Э ... УУ(т) Э УУ(т+1) = {0}. (23)
Определим градуированный пучок
= 0>УР, где )% = >У(р)/>У(р+1).

Пучок УУ обладает структурой пучка Лц-модулей, которая определяется формулой
(/ + Дв)(у + УУ(р+1)) = /д + УУ(р+1), / 6 Од, д € УУ(Р).
Кроме того, [УУ(Р), УУ(д)] С УУ(р+д), откуда следует, что формула
[д + УУ(р+1),г) + УУ(3+1)] = [д,и] + УУ(р+,+х), и € УУ(Р), V 6 УУ(?),
корректно определяет в пучке УУ операцию, превращающую его в градуированный пучок комплексных супералгебр Ли.
Лемма 8. Пусть И компактно. Тогда пучки Тв-модулей УУР, р > 0, локально свободны. Если Ло — голоморфное векторное расслоение над многообразием В, соответствующее пучку УУо, то его слой (\г0)х, х £ В, изоморфен суперпространству ь(Е, Ор)-
Доказательство. Рассмотрим тривиализацию нашего суперрасслоения над координатной окрестностью (и,Ов) С (В,Ов) и связанную с ней градуировку (17) пучка УУ |ц. Из определения этой градуировки видно, что имеют место разложения в прямую сумму .Т-ц-модулей
УУ(р) |[/= УУр ® (УУ(р+1) |и), Р > о. (24)
Следовательно, для каждого р > 0 имеется естественный изоморфизм .Тщ-модулей
УУР Iи—* УУр, сопоставляющий каждому смежному классу его единственного представителя, лежащего в УУР. Значит, УУР ц — свободный пучок Лц-модулей, базисом которого (во введенных выше обозначениях) служат классы ац(гу) + >У(1) и, г = 1
Рассмотрим теперь слой (\го)а, векторного расслоения Wo, соответствующего локально свободному_пучку УУ0, считая, что х £ {/. Имеем по определению (Ло)! = (УУо/пДУУо)*, где пх — максимальный идеал локальной алгебры (Ди)х- Из разложения (24) для случая р = 0 следует, что (Wo)x ~ (УУ°)х/пх(УУ°)х.