Функция длины и матричные алгебры

• Автор: Маркова, Ольга Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 129 с.

Оглавление
Введение
1 Базовые алгебраические свойства функции длины
1.1 Основные определения и обозначения
1.2 Поведение длины системы образующих при преобразованиях этой системы
1.3 Поведение длины при присоединении к алгебре единицы
1.4 Длина прямой суммы алгебр
1.4.1 Примеры вычисления длины прямых сумм матричных подалгебр
1.5 Поведение длины алгебры при переходе к алгебраическому расширению поля •. .
1.6 Связь между длиной алгебры и длиной ее гомоморфных образов
1.7 Нижняя оценка длины тензорного произведения
1.8 Длина локальной алгебры
2 Длина коммутативных алгебр
2.1 Введение
2.2 Верхняя оценка длины коммутативных матричных алгебр
2.3 Длина классических коммутативных подалгебр алгебры Мп(¥)
2.4 Коммутативные матричные алгебры максимальной длины
2.4.1 Коммутативные матричные алгебры максимальной длины над алгебраически замкнутыми полями
2.4.2 Коммутативные подалгебры максимальной длины над произвольными полями
2.5 Верхняя оценка длины для коммутативных алгебр как функция от двух инвариантов
2.5.1 Сравнение с другими оценками
2.6 О длине алгебры диагональных матриц
3 Связь длины алгебры с длиной ее подалгебр
3.1 Введение
3.2 Блочные подалгебры в алгебре верхнетреугольных матриц

3.2.1 Алгебры с двумя блоками
3.2.2 Алгебры с тремя блоками
3.3 Монотонность функции длины
3.4 Подалгебры матриц порядков 2 и 3
3.4.1 Длина подалгебр в М?,(¥)
3.4.2 Длина подалгебр в М^(¥)
Литература
Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы исследования
Длиной конечной системы порождающих 5 конечномерной ассоциативной алгебры Л над произвольным полем называется наименьшее натуральное число /(5), такое что слова длины не большей ДД) порождают данную алгебру как векторное пространство. Длиной алгебры называется максимум длин ее систем порождающих, обозначим ее 1(Л).
Задача вычисления длины полной алгебры матриц Мп(¥) как функции порядка матриц возникла в работах Спенсера и Ривлина 1959-60гг. [24], [25] в связи с возможным применением в механике. В общей формулировке эта проблема была поставлена Пазом в 1984 году в работе [20] и до сих пор является открытой. Существует гипотеза, состоящая в том, что зависимость между длиной и порядком матриц линейная и задается следующей формулой:
Гипотеза ([20]). Пусть № — произвольное поле. Тогда 1(Мп(F)) = 2п — 2.
Известно, что эта гипотеза верна при п — 2,3,4 (см. [20, пример]). Однако, все существующие верхние оценки длины алгебры матриц не являются линейными.
Оценка, полученная в работе Паза, является квадратичной относительно порядка матриц.
Теорема 1 ([20, теорема 1, замечание 1]). Пусть Ш1 — произвольное поле. Тогда
тР -I-
ДМП(Г))<
где [.] обозначает наименьшее целое число, большее или равное данному.
В работе 1997 г. [19] Паппачена предложил обобщение метода комбинаторного подсчета линейно независимых слов, использованного Пазом, и с его помощью получил верхнюю оценку длины произвольной ассоциативной алгебры Л в виде функции двух ее инвариантов: размерности и гп(Л) — максимальной степени минимального многочлена элементов алгебры.

В разделе 2.5 получена точная верхняя оценка длины коммутативной алгебры как функция таких инвариантов алгебры, как размерность алгебры и максимальная степень минимального многочлена элементов алгебры. Эта оценка является улучшением общей оценки, полученной Паппаченой в [19, теорема 3.1], в коммутативном случае. Этот результат применяется для вычисления длины алгебры диагональных матриц над произвольным полем.
2.2 Верхняя оценка длины коммутативных матричных алгебр
Теорема 2.2.1. Пусть IF — произвольное поле и Л — коммутативная подалгебра в Мп(F). Тогда 1(A) < п — 1.
Доказательство. Заметим, что в доказательстве [20, теорема 2] используется только алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Следовательно утверждение теоремы справедливо для произвольного алгебраически замкнутого поля. Тогда из предложения 1.5.1 получаем 1(A) < l(A$) <п — 1.

Нам потребуется следующий специальный класс матриц, который будет использоваться также и в дальнейшем:
Определение 2.2.2. Пусть F — произвольное поле. Матрица С 6 Мп(F) называется циклической, если
dimF«S, С, С2,..., С"1-1)) = п.
Предложение 2.2.3. Пусть F — произвольное поле. Матрица С 6 Мп(F) является циклической тогда и только тогда, когда ее минимальный многочлен совпадает с характеристическим.
Доказательство. Пусть С — фиксированная матрица. Обозначим через F[C] = {р(С) : p(t) 6 F[i]} — линейное пространство значений многочленов с коэффициентами из F от матрицы С. По теореме Гамильтона-Кэли F[C] — {Е, С, С2,..., С""1). Пусть далее дсОО обозначает минимальный многочлен матрицы С, Xc(t) ~ характеристический. Тогда в силу [14, теорема 4.4.17] получаем, что С — циклическая матрица тогда и только тогда, когда degfic(t) = dim(F[C]) = п. С другой стороны, п = degxc(i)- Так как минимальный многочлен любой матрицы делит ее характеристический многочлен, получаем, что матрица С является циклической тогда и только тогда, когда nc(t) = xc(t).