Решение некоторых алгоритмических проблем в группах Артина с древесной структурой

• Автор: Платонова, Оксана Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 115 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Проблема сопряженности в группах Артина с древесной структурой
1.1. Диаграммы над группой Артина с древесной структурой
1.2. Решение проблем равенства и сопряженности в группах Артина
с древесной структурой
1.3. О кручении в группах Артина с древесной структурой
Глава 2. Решение проблемы степенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой
2.1. Проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах Артина с древесной структурой
2.2. Решение проблем вхождения в параболическую подгруппу и слабой степенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой
2.3. Проблема степенной сопряженности в группах Артина с древесной
структурой
Глава 3. Структура централизатора элементов в группах Артина с древесной структурой
3.1. О пересечении циклических подгрупп в группах Артина с древесной структурой
3.2. О структуре централизатора элементов в группах Артина с древесной
структурой
Заключение
Библиографический список

Введение
Актуальность темы В 1972 г. Э. Брискорном и К. Сайто [19] был введен класс групп, который назвали группами Артина.
Пусть С - конечно порожденная группа Артина с копредставлением в = (а1,а2,...,ап;(а,а^т'= , где {я,«,}”1* = а,д,я,... - слово длины т1}, состоящее
из тч чередующихся букв а, и а), тч - число, соответствующее
симметрической матрице Кокстера, тц > 2 при г * /. Если к определяющим соотношениям группы Артина добавить соотношения вида: V/ е 1,а] = 1, то получим копредставление соответствующей группы Кокстера.
Группы Артина конечного типа являются обобщением групп кос, которые ввел в 1925 году Э. Артин [35], Группы кос имеют копредставление
й„+1 = {сг1,о-2,-..,о-„;сг1о-1+,сг, =сг,+1(т,о-1+„/ = 1,и-1;<т,(ту =сгу(7„г,у = 1,«,|/-у|>1). Группа
Артина называется группой Артина конечного типа, если соответствующая ей группа Кокстера конечна.
Группы Кокстера были введены X. С. М. Кокстером [40] в 1934 году. Понятие данной группы возникло в теории дискретных групп, порождаемых отражениями относительно гиперплоскостей. Алгебраическая теория данного класса групп подробно представлена в работах Н. Бурбаки [20].
В 1912 г. М. Дэном [41] были сформулированы фундаментальные алгоритмические проблемы теории групп: проблема равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах, проблема изоморфизма групп.
Поиск решения этих проблем послужил причиной развития комбинаторной методологии в теории групп, что позволило комбинаторной теории групп оформиться как самостоятельной науке и стать одним из активно развивающихся

направлений современной математики. Среди работ, связанных с исследованием проблем М. Дэна, наиболее выдающимися являются работы П. С. Новикова [30], показавшего неразрешимость проблем равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах, а также неразрешимость проблемы изоморфизма групп. Вследствие этого возникла задача исследования данных алгоритмических проблем в конкретных классах конечно определенных групп, где особое место занимает класс групп Артина и Кокстера.
Проблема равенства слов в группах кос Вп+1 решена Э. Артином [36]. Г.С. Маканиным [26] и независимно Ф. Гарсайдом [21] получено решение проблемы сопряженности слов в ВплЛ. А также Г.С. Маканин [27] показал, что нормализатор любого элемента группы кос конечно порожден и построил алгоритм, выписывающий его образующие.
Э. Брискорн и К. Сайто [19] показали разрешимость проблем равенства и сопряженности слов в группах Артина конечного типа. Для данного класса групп
В.Н. Безверхним и В.А. Гринблатом было получено решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу [6]. Ю.Э. Трубицын и В.А. Гринблат доказали разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов в данном классе групп. В.Н. Безверхний доказал неразрешимость проблемы вхождения в неприводимые группы Артина конечного типа.
К. Аппелем и П. Шуппом [33] в 1983 г. выделены классы групп Артина большого и экстраболыпого типа. Если тя > 3 для всех / * у, то (7 называется группой Артина (Кокстера) большого типа. Если же тц > 3, то группа (7 называется группой Артина (Кокстера) экстраболыпого типа. П. Шупп и К. Аппель показали разрешимость проблемы равенства и сопряженности слов для групп Артина и Кокстера экстраболыпого типа. В. Н. Безверхним и А.Н. Кузнецовой получено, что группы Артина большого типа являются группами без кручения [14], и в данном классе групп разрешима проблема вхождения в циклическую подгруппу [15]. К. Аппелем и независимо В.Н, Безверхним была решена проблема сопряженности слов [34,3], а также В.Н. Безверхним получено

3) Пусть (р(дО] п у,) = ат', (р(8!Уп г-,у]) = Ъ‘ат, /р(діУп гід1) = а"', где т1 +т2 = т, т,1,т1,т2 єZ {0} (Рисунок 1.18). Пусть (р(дО, п у2) = с. Если с = Ъг, то получаем случаи 2.а и 2.6. Если же с = а то и* будет циклически сократимым. А в случае с*Ь,с*а мы получаем случай 1.1.1, и проводим аналогичные рассуждения с подклеиванием области Д0.
1.2. Пусть ЦаО, пу,|| = 2, <р(д£>, пу,) = а”б', (р(дО, глдО’п) = атЬ1 и ЦйО, п<Э£>'|| = 2, т.1 є 7. { 0; (Рисунок 1.19). Так как области /5,, /У являются взаимообратными и <р(ЗЦ п<ЗД) = г/>(е,) = <р(е2), то и» ~ (р(у2)сопряжено слову с более короткой слоговой длиной, что противоречит предположениям.
Рисунок 1.18 - Случай 1.1.3 Рисунок 1.19 - Случай 1.
1.3. Пусть ||бЯпу,|| = 3, причем ЦЗД пу,|| = 2, ||сЮ2 пу,|| = 1 и ^/(Д) = 4(для с1(П2) = 6 аналогично) (Рисунок 1.20).
Имеем ср(дО] пу,) = атЬ‘ и пусть (р{дОг п у) = ср, <р(дО’п п у,) = Ь‘ср,т,1, р е 7 {0}
. Тогда вершина /1 является внутренней точкой диаграммы М', что невозможно.
1.4. Пусть 5Д псЮ' =0,||бД пу,| = 2, ЦбА пу,|| = 1,...,5£)4 о у, *0, тогда
возможны следующие случаи:
а) й(Рк) = 6,||йД п у,| = 2, ||аДпаД|| = 2 и <г>(дД п0Д) = (Рисунок 1.21). Рассмотрим слово ср(АСОВ) = (р(АВ), но
(р(АСОВ) = С) • (р(СП) ■ (р(ОВ) = а ■ <р(СВ) ■ а'" ~ ср(СО) ■ а , получаем
^(р(СП)-а' “Ц <||^(ЛВ)||, что невозможно по предположению.
б) <*(Д) = 8,||ЭД пу,|| = 3, ||51)*п5£>;]| = 2 и <р{Юк п5Д) = атЬ' (Рисунок 1.22). Тогда получаем, что, либо <р{дО'п,), (р{дО'п) е ОаЬ, либо область Ок на трех образующих, что невозможно.