Коразмерности и кохарактеры полиномиальных тождеств и их обобщений

• Автор: Гордиенко, Алексей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Сводка используемых понятий и фактов
1.1 Список обозначений
1.2 Сведения из теории колец
1.3 Сведения из теории представлений
1.4 Сведения из теории полиномиальных тождеств
2 Полиномиальные тождества, их кохарактеры и их коразмерности
2.1 Гипотеза Регева и кохарактеры ассоциативных алгебр Р
экспоненты 1 и
2.2 О тождествах в подалгебре алгебры матриц 3x
2.3 Графы коммутативности и их алгебры
2.4 Тождества в алгебрах Клиффорда
2.5 Коммутатор длины
3 Коразмерности обобщенных полиномиальных тождеств
3.1 Обобщенные полиномиальные тождества и их коразмерности
3.2 Обобщенные коразмерности конечномерных алгебр
3.3 Доказательство критерия конечности
3.4 Обобщенные коразмерности алгебры 1/Т2(С)
4 Коразмерности функциональных тождеств
4.1 (Обобщенные) функциональные тождества и их коразмерности
4.2 Асимптотика функциональных коразмерностей
4.3 Функциональные коразмерности матричных алгебр
Заключение
Литература

Введение
Одним из важных аспектов исследования алгебраических систем является изучение тех тождеств, которые выполняются в этих алгебраических системах. «Хотя тождества представляют собой простейшие замкнутые высказывания логического языка, язык тождеств все же достаточно богатый, чтобы на нем можно было выражать многие тонкие свойства систем и их классов» (А.И. Мальцев [46, с. 337]) При исследовании тождеств в алгебрах естественным образом возникают числовые и теоретико-представленчеекие характеристики: коразмерности и кохарактеры. Коразмерности являются полезным инструментом при решении различных задач, например при доказательстве наличия или отсутствия нетривиальных тождеств [26, 27]. Более того, коразмерности служат своеобразной оценкой количества тождеств, которым удовлетворяет конкретная алгебра. Кохарактеры заключают в себе информацию о структуре представления симметрической группы на факторпространстве пространства полилинейных многочленов по подпространству полилинейных тождеств соответствующей степени, являясь таким образом более тонкой характеристикой тождеств, чем коразмерно- • сти. Первые применения представлений симметрической группы в PI-теории 4 следует отнести, по-видимому, к работам А.И. Мальцева [45] и В. Шпех-та [31], опубликованным в 1950 году. Использование кохарактеров является одним из главных инструментов при изучении асимптотики коразмерностей [5, 7, 11, 12, 13, 17, 18, 29, 33, 34, 54, 55, 57]. Асимптотическое поведение коразмерностей и кохарактеров вызывает дополнительный интерес в связи с тем, что это поведение тесно связано со структурой изучаемой алгебры [18. 33].
В 1984 году А. Регев показал [29], что коразмерности cn(Mk(F)) полиномиальных тождеств алгебры Mk(F) всех матриц к х к над произвольным полем F характеристики 0 имеют следующую асимптотику (здесь и далее / ~ д, если lim | = 1):
cn(Mk(F)) ~ одп ~к2п при п —» оо, (1)
где ехк = (1)^ ■-*-!'2!-'(к — l)!-&(fc2+4)/2, А: е N фиксировано.
Основываясь на этом результате, С.А. Амицур выдвинул следующую гипотезу:

Гипотеза 1 (С.А. Амицур). Пусть А — PI-алгебра над полем характеристики 0, а Сп(А) — последовательность коразмерностей ее полиномиальных тождеств. Тогда существует lim ZcJA) 6 Z+.
71—ЮО
Данная гипотеза была затем уточнена А. Регевом.
Гипотеза 2 (А. Регев). Пусть А — PI-алгебра над полем характеристики 0. Тогда существуют такие С > 0, г Е Ъ, d £ Ъ+, что сп(А) ~ Cn^dT при п —> оо. Д? случае, когда d = 0, существует такое щ € N, что ?грн всех по выполняется равенство Сп(А) = 0.)
Гипотеза С.А. Амицура была доказана М.В. Зайцевым и А. Джамбру-но [18] в 1999 году для всех ассоциативных алгебр. Кроме того, в 2002 году М.В. Зайцев [40] доказал аналог гипотезы Амицура для коразмерностей полиномиальных тождеств конечномерных алгебр Ли.
Гипотеза А. Регева была доказана B.C. Дренски для ассоциативных алгебр полиномиального роста [12], М.В. Зайцевым и А. Джамбруно [19] для алгебр блочно-треугольных матриц. В 2008 году вышла работа автора [55], в которой гипотеза Регева доказывается для ассоциативных алгебр с единицей, имеющих PI-экспоненту 2 (см. параграф 2.1 данной работы). В том же году А. Регев и А. Берел [5, 7] доказали гипотезу Регева в более общем случае всех ассоциативных алгебр с 1.
Как уже было отмечено, большой интерес представляет изучение поведения кратностей неприводимых кохарактеров в разложении кохарактера полиномиальных тождеств. В 1979 году А. Регев [28] доказал теорему о полосе для кохарактеров алгебр, удовлетворяющих тождеству Капелли. В работе [6] А. Регева и А. Берела было показано, что рост кодлин, а отсюда и кратностей неприводимых кохарактеров всякой PI-алгебры ограничен сверху некоторой полиномиальной функцией. Вопросы, связанные с асимптотикой кратностей и кодлин также исследовались в [3, 49]. В работах 2006 и 2008 года А. Берел [4, 5] доказал, что кратности неприводимых кохарактеров произвольных PI-алгебр кусочно-полиномиальны, а кодлины PI-алгебр с единицей асимптотически ведут себя как Спгде С € М+, t 6 Z+. Поведение кратностей неприводимых кохарактеров алгебр полиномиального роста изучалось B.C. Дренски [12]. В частности, им было доказано, что последовательность кратностей неприводимых кохарактеров, отвечающих диаграммам Юнга с фиксированными нижними строчками, периодична. В работе автора [55] и параграфе 2.1 настоящей диссертации показано, что

Если Id(A) = Id(G(B)), где В = Во + J — конечномерная супералгебра (см. теоремы 3 и 12), и PlexpA ^ 3 (см. алгебраическую характеризацию в формулировке теоремы 13), то

Во = 0 Fek 0 0 (Fee + Fce)
к= £=5+
— прямая сумма полей и двумерных супералгебр. Здесь е = е*,, где к — 1, 2, ..., t, и cj = е^, где I = s + 1, ...,£. В теоремах 18 и 19 алгебра А содержит единицу, поэтому T-идеал Id(A) порождается собственными многочленами [13, предложение 4.3.3, с. 42]. Однако грассманова оболочка G(B+) супералгебры В с добавленной внешней единицей будет удовлетворять тем же собственным тождествам, что и G(B), откуда Icl(G(B+)) = Id(G(B)) = Id(A) и можно считать, что супералгебра В

изначально содержала единицу 1 = е,.

Пусть р Е N —такое число, что Jv — О, Jv~x ф 0.
Нам понадобятся следующие утверждения.
Лемма 4. Пусть Во — Fa ® Fb, а + Ъ = 1, В{) — 0. Если ^ иг ^ р, то Xv

е разложение г]е(А) не входит.
Доказательство. Пусть / Е Гф Докажем, что ет„/ € Id(A) для всякой такой таблицы Д.
Зафиксируем базис в Л, состоящий из элементов вида 1 ® z, а ® z, где гг G G® — ZG, и базиса в G(J). При проверке многочлена, из Рп на принадлежность множеству Id{G{B)) достаточно подставлять только базисные элементы. Если g Е Те и мы делаем подстановку ж,- = 1 ® z, z Е G^° для некоторого г, то многочлен g обращается в 0. Поэтому достаточно подставлять не более р — 1 элементов из радикала, а во все остальные переменные подставлять a®z. Но если мы распишем симметризацию по р Е Rt„, то получим сумму многочленов, для каждого из которых существуют множества

переменных Ui, i = 1, ..., vfc, $2 |иг ^ V2 +р, по которым он кососимметрн-

чен. Таким образом, в переменные каждого множества можно подставлять не более одного элемента вида. a®z (иначе выражение обратится в 0). Отсюда В переменные ДОЛЖНО подставляться не менее +2 +р) — Но = р элементов из радикала, т.е. выражение обращается в 0. □