Решение алгоритмических проблем в группах Кокстера

• Автор: Добрынина, Ирина Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 229 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Проблема сопряженности слов в группах
Кокстера большого типа
1. Диаграммы над группами Кокстера большого типа и их
свойства
2. Решение проблемы вхождения в параболическую подгруппу в группах Кокстера большого типа
3. Решение проблемы сопряженности слов в группах Кокстера большого типа
Глава II. Обобщенная сопряженность слов в группах
Кокстера большого типа и другие проблемы
1. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа
2. Описание элементов конечного порядка в группах Кокстера большого типа
3. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах Кокстера большого типа
4. Решение проблемы слабой степенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа
Глава III. Некоторые проблемы в группах Кокстера
экстраболыпого типа
1. Решение проблемы степенной сопряженности слов в группах Кокстера экстраболыпого типа

2. О свойстве элементов бесконечного порядка в группах Кокстера экстрабольшого типа
3. О свободных подгруппах в группах Кокстера экстрабольшого типа
Глава IV. Алгоритмические проблемы и описание
нормализаторов в группах крашеных кос и группах
Артина конечного типа
1. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах крашеных кос
2. Изучение проблемы сопряженности подгрупп в группах крашеных кос
3. Описание нормализаторов некоторых классов подгрупп в группах крашеных кос
4. О нормализаторах в группах Артина конечного типа
Глава V. Проблема ширины вербальных подгрупп в
некоторых классах групп
1. Решение проблемы ширины вербальных подгрупп в свободных произведениях групп с объединением
2. Решение проблемы ширины в некотором классе групп с двумя образующими и одним определяющим соотношением
3. Решение проблемы ширины вербальных подгрупп в одном Н АА-рас шире] ш и
4. Решение проблемы ширины в группах Артина с двумя образующими
Список литературы

Введение
Актуальность темы
Основными алгоритмическими проблемами в теории групп, поставленными М. Дэном [63] в одной из его работ в 1912 г., являются проблемы равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах и проблема изоморфизма групп.
Исследование этих проблем стимулировало развитие комбинаторных методов в теории групп, что явилось причиной возникновения одного из самого активно развивающихся направлений современной математики — комбинаторной теории групп. В настоящее время имеется целый ряд книг, посвященных данной теме, достаточно назвать монографии
В. Магнуса, А. Карраса и Д. Солитера [33], а также Р. Линдона и П. Шуппа [31]. Среди работ, связанных с исследованием проблем М. Дэна, наиболее выдающимися являются работы П. С. Новикова [43], доказавшего неразрешимость проблем равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах, а также неразрешимость проблемы изоморфизма групп.
С. И. Адяном |1] определено понятие наследственного нетривиального свойства группы и доказано, что не существует алгоритма, позволяющего для произвольной группы с конечным числом образующих и определяющих соотношений распознавать выполнимость свойства /?, представляющего собой объединение нетривиального наследственного и инвариантного свойства, если только существуют группы, обладающие свойством /?. Из этого результата следует, что практически все проблемы, относящиеся к конечно определенным группам, в общем случае неразрешимы. Сюда относятся, в частности, такие проблемы, как распознавание нильпотентности, конечности, простоты, свободы или единичности груп-

1) V*, 1 ^ і ^ п, дВі (~]дМ — последовательная часть М;
2) V?, 1 ^ і < тг, границы областей Ві и Л;+і пересекаются по ребру;
3) г(Ві) = г(Вп) = 3 и У?, 1 < і < її, г(ЛД = 4.
Пусть М — произвольная карта. Экстремальным к.ругом [31] карты М называется подкарта К карты М, которая топологически является кругом и обладает граничным циклом е1; е2,..., е„ таким, что ребра Єї, Є2,..., е„ встречаются в том же порядке в некотором граничном цикле всей карты М.
Обозначим суммирование по граничным областям О диаграммы А/, для которых сШр| дМ есть последовательная часть М.
Лемма 5. Если М — приведенная связная односвязная диаграмма над группой Кокстера большого типа, не содержатся деповской области, то она содержит по крайней мере три пепересекаюш/иеся полосы.■
Доказательство. Пусть т — граничный цикл М. Допустим, что М — экстремальный круг. Будем предполагать, что каждая граничная область Л С М является простой. По лемме 4 используем формулу кривизны [31]: —г(Л)) ^ 6, где суммирование проводится по простым
областям. Возьмем произвольную граничную область В с г(В) = 3, обозначив ее через В. начнем перемещаться по граничному циклу т против часовой стрелки. Присоединим к В следующую граничную область В2, дВгГдВ2 = е, е - общее ребро. Если г(В2) = 3, то лемма доказана. Пусть і(В2) > 3. Если г(В2) > 4, то слагаемое 4 — г(В2), входящее в сум-му 22м(4 " і(Л)), принимает отрицательное значение, поэтому вклад в общую сумму — К&)) 110 областям В, Л2 либо нулевой, либо
отрицательный. В этом случае отбрасываем области В,В2 и начинаем .строить полосу с новой области Л с г(Л) = 3, первой встретившейся после В,В2 при движении вдоль т в выбранном направлении.