Аффинные части алгебраических теорий и аффинные категории

• Автор: Сафуанов, Ильдар Суфиянович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 c. : ил

§ 0. Обозначения и терминология

Глава I. Аффинные части алгебраических теорий

§ I. Предварительные сведения

§ 2. Мхринные модули

§ 3. Точечное свойство

§ 4. Точечно замкнутые теории

Глава II. ХА -категории

§ 5. Определения и примеры ХА -категорий

§ 6. Свойства sл -категорий

§ 7. Х>ХА-категории и их эквивалентности

Глава III. аГ-аффинные категории

§ 8. Аффинные категории Гротендика
§ 9. Категории аффинных модулей
Глава IV. Характеризации категорий аффинных модулей
§ 10. Точные Д?п -категории
§ II. ХА -категории и многообразия
Литература

Диссертация посвящена изучению категорий, в той или иной форме близких к категориям аффинных модулей.
Аффинные модули, введённые Остерманном и Шмидтом в 1966 году [33], в последнее время всё чаще привлекают внимание специалистов как по универсальной алгебре, так и по теории категорий.
Алгебраическая теория аффинных модулей является важным примером аффинной алгебраической теории [25], т.е. теории, все операции которой идемпотентны. Аффинные теории занимают существенное место в общем изучении алгебраических теорий /[21] , [22] /. Интересное направление намечено в [32] и [22].
В.Нейман |32] выдвинул проблему исследования теорий с помощью их разложения в копроизведения других теорий. В [32], а позднее и в [22] упомянуто, что уже в [33] по существу был доказан следующий факт: теория модулей над некоторым кольцом изоморфна копроизведению своей аффинной части /т.е. теории аффинных модулей/ и теории множеств с отмеченной точкой. Возникает вопрос о том, насколько это свойство характеризует теорию модулей.
Многообразия аффинных модулей были охарактеризованы Б.Чаканем [18]. Им же даны описания многообразий модулей в тесной связи с характеризацией многообразий аффинных модулей / [17] , [19] /.
Изучение аффинных теорий заключает в себе богатые возможности как в общей алгебре, так и в других вопросах, например, в теории стохастических автоматов /см. [27]/.
С другой стороны, начатое А.Сендрей [37] и другими

изучение категорий аффинных модулей и близких к ним категорий показало перспективность теоретико-категорного направления, связанного с аффинными модулями. Категория аффинных пространств над некоторым телом была охарактеризована Нетц-шем в [31] . А.В.Жожикашвили [5] установил, что категория /4££~ / всех аффинных модулей над некоторым кольцом К определяет это кольцо с точностью до изоморфизма. Подробному изложению различных свойств категории аффинных модулей посвящены работы М, М.
А.й.Кострикин и Ю.й.Манин первыми включили важнейшие категорные свойства аффинных пространств в учебную литературу [б].
Таким образом, исследование аффинных модулей продвинуто достаточно далеко.
Однако, несмотря на наличие многих параллелей между категорией модулей и категорией аффинных модулей, до сих пор не было получено ни одной внутренней характеризации последней. Кроме того, представляется возможным, отталкиваясь от аффинных модулей, развивать теорию, в какой-то мере аналогичную теории абелевых и аддитивных категорий.
Целью работы является изучение связей между алгебраическими теориями и их аффинными частями; исследование категорий аффинных модулей и обобщений этих категорий, в особенности описание эквивалентностей категорий, близких к категориям аффинных модулей; получение различных характеризаций категорий аффинных модулей.
Все результаты диссертационной работы являются новыми. Основные из них - следующие:
I/ 0 помощью новых понятий, относящихся к близости

-(г(^аА +УА 0Ах)~Ув °АтУУУв ^зУА^Уа^УУ^У ~В0вв [^ (1А ~{А Ом)+Ув 0/и)~ У 031 ($ (у ~Уа УцУУ У)~
'У^(у 0аУ~^Ь + ^Уз °А1 ~
~ /с ®А1 ' У У А + У Уг) ~ У Ун “ У
Совершенно аналогично доказывается, что 7? - функтор из У В У . Проверим, что 71 и Тг взаимно обратны. Действительно, для любых А , В б 6А сз/ , су/(А_, 8) ввиду (б), (14) и предложения 6.12 имеем
(тх т2)(})= (%аА -уА оА1)+ув оА1)(1а +уа оА1)~
^ У в Уи ~ А (У ~ У У У) У а+Уа УтУ^в УУУ +Уа У У"
-/в 0/11 ~ + У в °А1 - Ув 0А1 = /•
и аналогично Ото и означает, что Т± -
изоморфизм категорий с обратным 7р
ПРВДЛОШШ 6.18. Если 44 -категории М и <53 эквивалентны, то и категории А&сА и ЗЬ эквивалентны.'
Доказательство. Пусть А '• сА~9 5Ь - функтор, осуществляющий эквивалентность. Это означает, что А -полный унивалентный функтор, причём для любого объекта В категории АА) существует изоморфный ему объект вида А А) , где А б ОАА . Положим ДЛЯ любого С £ (ОВ сА У$(с) ~ У^1С ) • Поскольку А - эквивалентность, то 3(1 А к - терминалы-шй объект Б АА . Для любых А , Вб&ёЬ‘(А), кб%(А,В) положим
Т(к)=- МиЧлОмУМ!-
Пусть, кроме того, У"7 действует тождественно на