Алгебраическая геометрия над коммутативными полугруппами

• Автор: Шевляков, Артем Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 109 с.

Содержание
Введение

0 Предварительные сведения
0.1 Предварительные сведения из теории полугрупп
0.2 Предварительные сведения из теории моделей
0.3 Предварительные сведения из универсальной алгебраической геометрии
1 Описание координатных моноидов для коммутативного
моноида с сокращениями
1.1 Координатные моноиды над аддитивным моноидом натуральных чисел в языке без констант
1.2 Геометрическая эквивалентность коммутативных моноидов с сокращениями
1 3 Описание неприводимых координатных моноидов над моноидом натуральных чисел в языке с константами
1.4 Разложение приводимого множества над Л/" в объединение неприводимых компонент
1.5 Описание координатных £-моноидов над ЛЛ аксиоматизация квазимногообразия 0>уаг(ЛО
1.6 Вычисление радикала вырожденного уравнения над N
2 Идемпотентные коммутативные полугруппы на службе у
алгебраической геометрии
2.1 Несовпадение классов ТЧ.ТМ7, С^,и в многообразии коммутативных идемпотентных £-полугрупп
2.2 Решения проблемы вложения координатной полугруппы в конечное произведение логически неприводимых полугрупп

Класс нётеровых по уравнению ^-полугрупп не аксиоматизируем
Введение
Алгебраическая геометрия — это одна из классических математических дисциплин, изучающая решения систем алгебраических уравнений над полем. Решения систем алгебраических уравнений изначально искались- 'во - множестве вещественных чисел, а затем и комплексных чисел. Оказалось, что многие из полученных результатов использовали лишь алгебраическую замкнутость поля комплексных чисел, и поэтому естественным образом были перенесены на случай произвольного алгебраически замкнутого поля. Волее того, в первой половине ХХ-го века в работах А. Вейля, О. Зарисского, Б. Ван дер Вардена, Э. Нётер была развита алгебраическая геометрия над произвольным полем.
Переход от алгебраической геометрии над полем комплексных чисел к алгебраически замкнутому полю, а затем и к произвольному полю был обусловлен существованием общих принципов, верных при решение-систем алгебраических уравнений над произвольным полем. Таким образом, история развития алгебраической геометрии над полем позволяет сформулировать следующую проблему: существуют ли общие принципы решения систем уравнений, верные не только для любого поля, но и для произвольной алгебраической системы языка без предикатов?
Решение данной проблемы составляет основное содержание универсальной алгебраической геометрии, новой математической дисциплины! Алгебраическая геометрия над произвольной алгебраической системой Л занимается изучением свойств элементов Л, задаваемых системами уравнений.
Изучение универсальной алгебраической геометрии (алгебраической геометрии над над алгебраическими системами) было начато в работах

1 Описание координатных моноидов для коммутативного моноида с сокращениями
1.1 Координатные моноиды над аддитивным моноидом натуральных чисел в языке без констант
Обозначим через Ао алгебраическую систему языка Со с носителем N = {0,1,2,...}, в которой операция • интерпретируется сложением и в качестве константного символа со выбран нуль. Очевидно, что А/о является коммутативным моноидом с сокращениями.
Для удобства операцию - и константу с0 в Ао будем обозначать через +,0 соответственно.
Согласно формуле (4), каждое £о-уравнение над А/о эквивалентно атомарной формуле вида
где I Г) J = и натуральные числа г) служат для сокращения записи Хг + Х1 + ... + хг.
Ч , I. - ...... . , ■■
Следующее утверждение будет следовать из леммы 1.8 и здесь приводится без доказательства.
Следствие 1.1. Моноид А/о является нётеровым по Со-уравнениям. Очевидно, что следующее квазитождество языка Со
истинно в моноиде Лф. Формулу Ар06 будем называть аксиомой позитивности и все моноиды, в которых истинна данная аксиома, будем называть позитивными.

7і раз
Ар05 : /хІу(х + у = 0—>ж = 0)