Холловы подгруппы конечных групп

• Автор: Ревин, Данила Олегович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 232 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Предварительные сведения

§ 1.1. Краткий обзор главы

§ 1.2. Используемые обозначения

§ 1.3. Арифметические леммы

§ 1.4. Предварительные результаты о холловых свойствах

§ 1.5. Классические группы

§ 1.6. Суперлокалы и радикальные подгруппы

§ 1.7. Радикальные г-подгруппы симметрических групп

§ 1.8. Радикальные ?'-подгруппы классических групп
§ 1.9. Радикальные 2-подгруппы линейных и унитарных групп
§ 1.10. О радикальных 2-подгруппах симплектических групп 57 § 1.11. Группы лиева типа и связь с алгебраическими группами 60 § 1.12. Некоторые свойства подгрупп в группах лиева типа
Глава 2. Холловы подгруппы простых групп
§ 2.1. Краткий обзор основных результатов главы
§ 2.2. Знакопеременные группы
§ 2.3. Группы лиева типа. Случай 2 £ 7Г, 3,р 7г
§ 2.4. Линейные, унитарные и симплектические группы.
Случай 2,3 Е 7Г
§ 2.5. Ортогональные группы. Случай 2, 3 Е тг
§ 2.6. Исключительные группы. Случай 2,3 £ л
§ 2.7. Группы лиева типа. Случай 2,р тг
Глава 3. Наследуемость свойства
§ 3.1. Обзор основных результатов главы
§ 3.2. Число классов холловых тг-подгрупп в простых группах
§ 3.3. Наследуемость свойства Г) нормальными подгруппами
§ 3.4. Наследуемость свойства Г)~ при расширениях
Содержание
Глава 4. Арифметическая характеризация Д-групп
§ 4.1. Обзор основных результатов главы
§ 4.2. Линейные и унитарные Д-группы. Случай 2 £ тг,
3,р $ тт
§ 4.3. Свойство Д в группах лиева типа. Случай 2 € тг,
3,р тт
§ 4.4. Свойство Д в группах лиева типа. Случай 2,р тт
§ 4.5. Доказательство основной теоремы
Литература

Введение
Общая характеристика работы
Постановка задачи и актуальность темы диссертации.
Диссертационная работа относится к классическому направлению теории конечных групп — теоремам силовского типа. В ней с помощью классификации конечных простых группа дается исчерпывающий ответ на следующий вопрос. Пусть задано некоторое множество простых чисел л и конечная группа С?. Имеет ли место в группе О полный аналог теоремы Силова для тх-подгрупп? Также решается ряд известных проблем, связанных с этим вопросом.
Следуя [51,53,135], напомним историю и дадим необходимые определения.
Понятие группы, возникшее на стыке ХУШ-Х1Х веков из работ Лагранжа, Руффини, Абеля и Галуа, явилось обобщением фундаментальных свойств симметрии, роль которой в науке общеизвестна. Это понятие оказалось чрезвычайно плодотворным благодаря с одной стороны формальной простоте, а с другой — универсальности. Последняя состоит в том, что с любым реальным или мыслимым объектом можно связать группу его «симметрий», т. е. некоторых обратимых преобразований, оставляющих данный объект инвариантным или, по крайней мере, сохраняющих какие-либо его свойства. Многие разделы математики и естествознания используют язык теории групп в качестве рабочего, а некоторые важные и сложные проблемы даже получили благодаря переходу на этот язык исчерпывающее решение (теория Галуа, теория Вессио-Пикара, классификация Федорова и т. д.). Одной из фундаментальных задач теории групп является изучение подгруп-пового строения данной группы.
Важным является случай, когда группа конечна, т. е. содержит конечное число элементов. Это число, называемое порядком группы, является ее естественной арифметической характеристикой и определяет многие ее свойства. Область теории групп, изучающая группы конечного порядка, является старейшей и продолжает бурно развиваться.
§ 1.5. Классические группы

некоторое разложение V = V _L ... X V5 пространства V в ортогональную прямую сумму одномерных изометричных подпространств. В силу [118, табл. 3.5.D] имеет место один из следующих случаев.
(а) Подгруппа L является подгруппой типа Oi (?) -L 04( (q2 —1)2(9 — 7)2- Отсюда следует, что |G : L2 = 1 в том и только в том
случае, если г] = + и L изоморфна подгруппе из пункта (1) леммы. Кроме того, из [118, табл. 3.5.D] вытекает, что все такие подгруппы сопряжены в G.
(б) Подгруппа L является подгруппой типа 02(?) -L Оз(?)- В этом случае из [118, предл. 4.1.6] получаем, что L ~ (fi2(g) х П3(д)).[4]. Отсюда Ь2 = (q - Tj)2(q2 - 1)2 и |G : L2 = (q + rf)2, т. e. индекс подгруппы L четен.
(в) Подгруппа L имеет тип Oi( Г 24.Л5, если q = ±3 (mod 8);
~ [ 2A.Sb, если q = ±1 (mod 8).
Во втором случае L2 = 27, a G2 > 28, т. е. индекс G : L четен. Таким образом, L ~ 24.Пб и справедливо утверждение (2) леммы. Кроме того, из [118, табл. 3.5.D] следует, что все подгруппы указанного строения сопряжены в G. □
Следствие 1.5.2. Пусть G — Sp4(g), L — максимальная подгруппа группы G нечетного индекса. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:
(1) L ~ Sp2(g) I S2 ое. Sp2(q) I S2 и все такие подгруппы сопряжены в G.
(2) q = ±3 (mod 8), L ~ 2lJrA.Tl1 (2) ~ 21+4.SL2(4) и все такие подгруппы сопряжены в G.
Доказательство. Следует из известных изоморфизмов PSp4(g) ~ f25(g), Q,X(q) ~ Sp2( Лемма 1.5.3. Пусть G ~ P£lg(g), L — максимальная подгруппа группы G нечетного индекса. Тогда справедливо одно из следующих утверждений: