Автоморфизмы и теоретико-модельные вопросы для нильпотентных частично коммутативных групп

• Автор: Трейер, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 118 с. : ил.

Оглавление
Введение
Предварительные сведения
Нилытотентные группы
Базисные коммутаторы
Частично коммутативные структуры
Решётка замкнутых множеств для конечных графов
Построение компресс-графа по конечному графу
Абелинизированные параболические подгруппы
1 Автоморфизмы частично коммутативных двуступенно нильпотентных Я-групп
1.1 Я-автоморфзимы
1.2 Теорема Лоуренса
1.3 Теорема о разложении АиДСг)
1.4 Две теоремы о разложении группы Агф(Сг)
1.4.1 Критерий для отображения быть автоморфизмом
1.4.2 Вершинные группы автоморфизмов
1.4.3 Структура группы факторных автоморфизмов
1.4.4 Формулировки результатов
1.4.5 Доказательство основных теорем

1.5 Структура унипотентной части Агф((?г)
1.5.1 Мальцевская база для С/Т(С?г)
1.5.2 Ступень нильпотентности 11Т(Сг)
1.6 Арифметичность группы Агф(С?г)
1.7 Порождающее множество для АиЬ{Ст)
2 Выполнимость формул на частично коммутативных ниль-потентных группах
2.1 Экзистенциальные формулы
2.2 Операции раздутия и сжатия для простых графов
2.3 Случай линейного графа
2.3.1 Т - дерево
2.3.2 Т - произвольный граф
2.4 Случай цикла без диагоналей
2.4.1 Т - -циклический граф
2.4.2 Т - произвольный конечный граф
2.5 Произвольный случай
Список литературы

Введение
Частично коммутативные группы естественным образом возникают во многих разделах и приложениях математики. Эти группы очень удобны для исследования благодаря удобным нормальным формам и разрешимости большинства алгоритмических проблем. Введением в теорию частично коммутативных групп могут служить статьи обзорного характера [10, 16].
Частично коммутативные группы (также известные как прямоугольные группы Артина или графовые группы), по определению, являются конечно представимыми группами у которых определяющие соотношения состоят только из конечного числа соотношений вида [х,у] = 1, между элементами х и у из порождающего множества группы. Удобно задавать частично коммутативные группы с помощью конечного простого (то есть без кратных рёбер и петель) графа Г. Пусть граф Г имеет множество вершин X = {х
= (х1
при этом граф Г часто называют графом коммутативности для группы Пр.
К настоящему времени опубликовано большое число статей посвящённых изучению частично коммутативных групп. Не имея возможности дать полный анализ работ, приведём небольшой обзор результатов тесно связан-

Определим на X другое отношение эквивалентности ~0 правилом х ~0 у, если и только если х1 х = у1- у. Обозначим через [ж]о класс о-эквивалентности для х.
В работе [17] доказана лемма, описывающая свойства введённых классов эквивалентности:
Лемма 0.2 [17].
1. [ж]х — клика для всех х € X.
2. [х]_1_ П [ж]о = {ж} для всех х 6 X.
3. Если |[®]±| > 2, тогда |[ж]0| = 1.
4- Если |[ж]„| > 2, тогда |[ж]х|
Определим отношение ~ на X по правилу х ~ у, если и только если или X ~_1_ у, или х у. Из леммы 0.2 следует, что это отношение является отношением эквивалентности. Обозначим через [х] — класс эквивалентности элемента х 6 X и пусть [ад]
Выделим во множестве замкнутых подмножеств Ь = Ь(Г) подмножество Ьа(1, элементы которого будем называть допустимыми подмножествами:
Определение 0.6 Для произвольного элемента х 6 X обозначим через ад(х) = (а;0)-1 = (а;-1 {а;})-1 и пусть Ьа<1 = {ад(х)х е X}.
Ясно, по определению, что для любого х 6 X, ад(х) 6 Е(Г), следовательно, ЕаЛ С 1/(Г). Следующая лемма описывает некоторые свойства оператора ад.
Лемма 0.3 Пусть х, у € X, тогда: