Слабая двойственность коммутативных полугрупп

• Автор: Бобрышова, Наталья Леонидовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 67 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. Общие замечания
2. Необходимые определения и сведения
3. Структура работы и основные результаты
ГЛАВА 1. Слабая двойственность коммутативных полугрупп
§1. Определение и некоторые свойства полугрупп, слабо
двойственных относительно данной
§2. Критерии слабой двойственности относительно некоторых
полугрупп
ГЛАВА 2. Слабая двойственность некоторых классов

полугрупп
§1. Определение и некоторые свойства слабой двойственности классов коммутативных полугрупп, образованных с помощью
операторов Биркгофа
§2. Эквивалентность некоторых типов слабой двойственности полугрупп

ГЛАВА 3. Слабая двойственность коммутативных сепаратив-

ных полугрупп
§1. 5- и И-слабая двойственность полугрупп относительно
коммутативной сепаративной полугруппы
§2. 5'Н- и РБН-слабая двойственность полугрупп относительно
коммутативной сепаративной полугруппы
§3. Примеры, иллюстрирующие несовпадение классов
рс- эквивалентности
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
БИБЛИОГРАФИЯ

ВВЕДЕНИЕ
1. Общие замечания
Теория полугрупп относится к развивающейся области современной алгебры. Важное место в теории полугрупп и алгебре вообще занимают вопросы двойственности. Теория двойственности начала активно развиваться благодаря работам JI. С. Понтрягина, относящимся к началу 30-х годов, [32], [33]. В них изучаются вопросы двойственности коммутативных групп. Двойственность коммутативных полугрупп исследовалась Л. Фуксом [28], Э. Хьюиттом и Г. Цукерманом [30], Р. Уорном и Л. Вильямсом [34], Р. Фалпом и. Ф. Хиллом [29], К. Остиным [27], Л. Б. Шнеперманом [24],[25], М. М. Лесохиным [ 10] и другими.
Понятие слабой двойственности полугрупп можно рассматривать как обобщение понятия двойственности коммутативных полугрупп.
Приведем некоторые определения. Если С — коммутативная полугруппа, то обозначим через Нот (А, С) полугруппу всех гомоморфизмов полугруппы А в полугруппу С относительно умножения, определенного следующим образом,
(ZiX2)(a)= ХМ Z2(a), для любых а еЛ и Х2 G Нот (А, С).
Говорят, что полугруппа А двойственна относительно коммутативной полугруппы С, если гомоморфизм со:А —>Нот(Нот(А, С), С) по правилу (й)(а))(х)=х(а) является биективным.

Доказательство. Согласно предложению 2.1.3, 1)<=>2).
1 )<=>3). Если полугруппах слабо двойственна относительно С, то из предложения 2.1.4 следует, что любое прямое произведение В = ]Д Аі (А=А,

А— множество индексов) слабо двойственно относительно полугруппы С, то есть полугруппа А Р-слабо двойственна относительно С.
Если же полугруппа А Р-слабо двойственна относительно С, то по определению 2.1.1, полугруппа Л слабо двойственна относительно С.
Таким образом, доказали 1)<=>2)<=>3).
По предложению 2.1.2, 4)=>3). Докажем 3)=>4). Для этого надо
показать, что любая подполугруппа полугруппы Р> = ]”| Аі , А =А, слабо

двойственна относительно С. Но так как сама полугруппа О слабо двойственна относительно С, то из предложения 2.1.3, следует, что и любая ее подполугруппа слабо двойственна относительно С.
По предложению 2.1.2, 5)=>2), а из предложения 2.1.4, следует 2)=>5).
Таким образом, лемма 2.2.2 доказывает, что операторы 5, Р, 8Р и РХ лежат в одном классе р(. -эквивалентности.
Лемма 2.2.3. Пусть X— оператор Биркгофа и А — полугруппа. Если полугруппа А А-слабо двойственна относительно С, то А АХ-слабо двойственна относительно С и ХР-слабо двойственна относительно С.
. х 1 => ХБ

х 1 ХР
Доказательство. Пусть полугруппа А X-слаб о двойственна относительно С. По определению 2.1.1, любая полугруппа из класса (А)Х слабо двойственна относительно С. По предложению 2.1.3, любая