Вырождение Пуанкаре-Биркгофа-Витта в теории Ли и его приложения

• Автор: Фейгин, Евгений Борисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 155 с. : ил.

Содержание
Введение
1. Теория представлений
1.1. Основные определения и обозначения
1.2. Тип А
1.3. Симплектические алгебры
2. Геометрия
2.1. Соотношения Плюккера и полустандартные таблицы
2.2. Цепочки подпространств
2.3. Колчанные грассманианы
3. Комбинаторика
3.1. Числа Дженокки
3.2. Полиномы Пуанкаре.
3.3. Производящие функции и непрерывные дроби
4. Аффинные алгебры Каца-Муди
4.1. Алгебры Каца-Муди и ВОА
4.2. Алгебра s(2
4.3. Модули Демазюра
4.4. Двойственная функциональная реализация
5. Алгебры Жу
5.1. Алгебры Жу и С2-алгебры типа А
5.2. Симплектические алгебры
5.3. Обобщённые алгебры Жу
Список литературы

Введение
Группы и алгебры Ли являются классическими объектами, привлекавшими внимание таких математиков, как А. Пуанкаре, С. Ли, А. Вейль, Г. Вейль, А. Борель, Р. Ботт. Причина важности и популярности алгебр и групп Ли заключается в том, что эти структуры возникают в самых разных областях математики (теории представлений, топологии, алгебраической геометрии, комбинаторике, математической физике). Например, в топологии и алгебраической геометрии группы Ли возникают как группы симметрий важных и интересных многообразий, а в математической физике и теории представлений алгебры Ли зачастую появляются как пространства операторов, позволяющих описывать естественно возникающие векторные пространства (пространства состояний систем). Важным обстоятельством является тот факт, что аппарат теории Ли очень разнообразен и может применяться как в геометрических, так и в алгебраических задачах (см. например [4-5], [46]).
Одним из базовых объектов теории Ли являются представления со старшим весом. Эти представления обладают следующим важным свойством: они содержат выделенный (так называемый, старший) вектор, такой что всё пространство представления порождается из него применением борелевской подалгебры. Оказывается, что все неприводимые конечномерные представления простых алгебр Ли обладают этим свойством. Более того, бесконечномерные представления со старшим весом образуют важнейший класс модулей над аффинным алгебрами Каца-Муди - класс интегрируемых представлений, важных с точки зрения приложений в математической физике. Отметим также, что представления со старшим весом служат важным алгебраическим инструментом для описания алгеброгеометрических свойств многообразий флагов, позволяя явно строить проективные вложения. В этом контексте проективные алгебраические многообразия реализуются как орбиты (замыкания орбит) действия группы Ли на некоторую точку.
Во всех описанных примерах ключевое свойство заключается в том, что алгебраические (геометрические) объекты порождаются из одного вектора (точки) действием алгебры операторов (группы Ли). При этом как правило эта алгебра (группа) достаточно сложно устроена: например, это может быть борелевская или параболическая подалгебра в простой или аффинной алгебре Ли. Заметим, что ситуация, в которой представление порождается из одного вектора под действием алгебры операторов широко встречается в коммутативной алгебре: роль алгебры операторов играет здесь полиномиальная алгебра, а представление - фактор кольца полиномов по некоторому идеалу. Роль многообразий флагов здесь играют так называемые С^-многообразия (см. [1], [2], [65]). Основная наше идея заключается в том, чтобы связать эти две конструкции, то есть построить и изучить процедуру перехода (вырождения) от представлений сложной (неабелевой) борелевской подалгебры к факторам колец полиномов по идеалам. При этом вырождаются одновременно все объекты теории: алгебры и группы симметрий, пространства представлений, многообразий флагов, характеры и т.д. Это позволяет применять конструкции и результаты одной из теорий для изучения объектов другой, а также получать важные приложения в теории представлений, алгебраической геометрии, математической физике и комбинаторике.

Опишем кратко предлагаемый подход. Пусть д - алгебра Ли, У представление д, удовлетворяющее следующему условию: существует подалгебра п С д и вектор V £ V, такие что У = и(п)г> (через V обозначена универсальная обёртывающая алгебра). Вектор V называется старшим вектором представления У. На универсальной обёртывающей алгебре [/(п) имеется стандартная возрастающая фильтрация Пуанкаре-Биркгофа-Вйтта Р3, такая что происоединённая градуированная алгебра изоморфна симметрической алгебре ^(п), которая, в свою очередь, изоморфна алгебре полиномов. Рассмотрим индуцированную фильтрацию на пространстве представления У, т.е. фильтрацию Р0ь С Рг> С Р^у С ... (см. [30], [34], [35], [50], [51], [71]). Тогда присоединённое градуированное пространство У“ является представлением абелевой алгебры па. Более того, поскольку V является циклическим представлением п (т.е. V = и(п)у), то У“ = 5(п)г;, т.е. всё пространство получается из старшего вектора действием алгебры полиномов. Итак, У“ ~ 5(п)//, где I некоторый идеал.
Пусть теперь д - конечномерная простая алгебра Ли с картановским разложением д = Ь ® п~, У, - неприводимое представление д со старшим весом А и старшим вектором У. Классическими вопросами теории представлений является вычисление размерностей и характеров этих представлений. Вышеописанная конструкция позволяет строить пространства УА“. По построению, УА° ~ 5(п~)/1 для некоторого идеала /д. Заметим, что кроме стандартной градуировки алгеброй Картана, индуцированной из Уд, пространства Ул“ снабжены дополнительной градуировкой по степени многочлена из ^(п-). Таким образом, получаем естественно определённый д-характер представлений Уд (отличный от [9]). Естественно возникают следующие вопросы:
• Описать идеалы соотношений /д.
• Вычислить д-характеры представлений Уд.
• Построить мономиальные базисы пространств УА“.
Мы решаем эти вопросы для д = и д = зр2п. В частности, конструкция мономиальных базисов позволяет доказать гипотезу Винберга [88]). Отметим, что пространства УА“ являются представлениями не только абелевой алгебры (п-)“, но и большей алгебры д° = Ь ® (п~)°, которую мы называем вырожденной алгеброй Ли.
Рассмотрим теперь геометрическую часть теории. Пусть С - группа Ли алгебры Ли д. Рассмотрим обобщённое многообразие флагов Зд = (3 • Сщ, вложенное в проективизацию Р(Уд) как орбита прямой, порождённой старшим вектором. Легко видеть, что Э"д ~ С/Р, где Р - некоторая параболическая подгруппа, определяемая весом А. Напомним, что в случае группы типа А обобщённые многообразия флагов изоморфны классическим многообразиям флагов, состоящим из наборов подпространств. Изучение алгебро-геметрических и топологических свойств (обобщённых) многообразий флагов важно и интересно как с геометрической точки зрения, так и в свете приложений в теории представлений и комбинаторике. В частности, теорема Бореля-Вейля-Ботта позволяет вычислять характеры неприводимых представлений простых алгебр Ли с помощью эквивариантных линейных расслоений на многообразиях флагов (по формуле Атьи-Ботта-Лефшеца [4], [84]). Пусть теперь (5“ - вырожденная группа Ли, являющаяся группой Ли алгебры д“. Отметим, что

Будем вести доказательство от противного. Пусть с6 ф 0 для некоторого в. Зафиксируем такой элемент э Є 5(А) и, не ограничивая общности, будем считать, что сь = 0 для всех
1 >- в.
Рассмотрим базис /а«л-ш, 0 /ьУШг, а Є 5(А — шг), Ь Є Б(сог) в векторном пространстве УДА—шг)®Га{ш1). Для всех і Є 5і(А), удовлетворяющих ф 0 из (1.37), запишем /4(г>д_ы,® уШг) в виде линейной комбинации базисных элементов:
/‘Ы-иг ® уЫг) = ^ КъГух_ш, 0 /ьцш,.
а€5(Л—о;г) Ь€5(о;г)
Мы покажем, что К*_т,т. = 0 для всех А"|_т= Ф 0.
Заметим, что
(1.38) Г(ух.Ш1 0 ^,) - СГ~т-ух_^ ® /тЧ, + Е РгиГ2Г'их^ 0 /Г2^„
Г1+Г2=
где С - некоторая ненулевая константа (произведение биномиальных коэффициентов) и Ті ф б — пт®, г2 ф т®. Элементы /Г1г>л_ш>, /Г2иШі не обязательно являются базисными. Рассмотрим несколько случаев. Во-первых, пусть г2 Є 5(шг) {пт®}. Тогда /Гігіл_Ші ® /Г2гіш> является суммой базисных элементов вида /агц-ш, 0 /Г2г>ш>, где (а, г2) Д (в — т®, т®). По тем же причинам, если г і Є ^(А — и>г) {в — ш®}, то /Г1г)д-Ш, ® /Г2‘і)Ші является суммой базисных элементов вида /Г1ух~Шг 0 /ьг>Шг, где (гь Ь) ф (б — т®, т®). Если щ ф 5(А — шг) и г2 £ 5(шг), то
/Г1У А_ы, = ^ еа/аЩ_„, И /Г2иш, = <1Ъ/ЪУиг
1*1>-а Г2>“Ь
аЄЗ(А-а),) ЬєЗ(ш,)
для некоторых констант еа, Д>. Заметим, что пара (б — т®,т®) не встречается среди пар (а, Ь), так как
(э - ш®) + т® = в = щ + г2 >- а + Ь.
Поэтому выражение /а(ух~Ші®уШг) в виде линейной комбинации базисных элементов имеет вид
СГ~т’уХ.ш% 0 Г*уиг + ]Г Ра,ьГ«А-и,, 0 / V •
а.ЕЗ(—и?г),Ъ(=.3(шг)
(а,Ь)^(в—т®,т*)
Таким образом, Щ_тв т= ф 0.
Теперь рассмотрим член /Дил_ш, ® уиг), ї ф в, такой что Сф 0 в (1.37). Запишем (1-39) /Дил-ш, ®уы,) = ^ Рг1ДГ»А^®Г«и,
1*1+Г2=И;
и выразим каждый член <£)/Г2УШг в виде линейной комбинации базисных элементов
/Г1иА-ы, О /Г2«ш, = 53 9а,ь/а^А-ш, ® /V,-
аЄ5(Л—шг),Ье5(ыг)