Строение полупростых алгебр Хопфа

• Автор: Мухатов, Руслан Бактылбаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 72 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Описание полупростых алгебр Хопфа с одним неодномерным неприводимым представлением
1.1. Определения и формулировки основных теорем
1.2. Ограничения на структуру алгебры
1.3. Описание алгебр Хопфа при помощи неприводимых проективных представлений абелевых групп
Глава 2. Строение полупростых алгебр Хопфа с одним неодномерным неприводимым представлением
2.1. Введение
2.2. Подалгебры и идеалы Хопфа
2.3. Групповые элементы
Глава 3. Полупростые алгебры Хопфа с неприводимыми неодномерными представлениями разных размерностей
3.1. Введение
3.2. Групповые элементы
3.3. Разложение модулей
3.4. Подалгебры и идеалы Хопфа в случае нескольких матричных
компонент
Литература
Публикации автора по теме диссертации

Введение
Актуальность работы
Диссертация посвящена исследованию в области теории алгебр Хопфа. Рассматривается структура конечномерных полупростых алгебр Хопфа при некоторых ограничениях на количество и размерность их неприводимых представлений как алгебр.
Понятие алгебры Хопфа было введено и изучалось алгебраическими топологами как обобщение структуры из работы Хопфа [1] о многообразиях, допускающих операцию умножения (таких, как группы Ли). И большинство изучаемых в то время алгебр Хопфа представляли либо коммутативный, либо кокоммутативный случай. Но с появлением теории квантовых групп в 1980-х годах важной задачей стало изучение некоммутативных и некокоммутатив-ных алгебр Хопфа.
Математический объект под названием «квантовая группа» появился в работах П.П. Кулиша, Н.Ю. Решетихина [2], Е.К. Склянина [3] и Л.Д. Фадеева, Л.А. Тахтаджяна [4]. Квантовые группы применяются как в конкретных вычислительных приложениях в некоторых моделях статистической физики и квантовой механики, так и в крайне абстрактных приложениях в теории алгебраических групп, комбинаторике и геометрии над полями простой характеристики.
В работах В.Г. Дринфельда [5-8] квантовые группы рассмотрены как объекты, полученные в результате квантования групп Ли, так превращенных в пуассоново многообразие, что скобка Пуассона согласована с групповым умножением. Также в результате применения этого подхода был получен обширный запас так называемых квантовых /2-матриц, т.е. матриц размера

п2 х п2, удовлетворяющих квантовому уравнению Янга-Бакстера
Д12Я23Д12 = Я2" Я12 Л
23 г> 12 г>
где Я12 = і? ® 1 и Я23 = 1 0 Я.
Результаты применения этого подхода удобно формулировать в терминах алгебр Хопфа.
Мы будем рассматривать алгебры Хопфа над алгебраически замкнутым полем к. По определению, кроме умножения т Н ® Н —ї Н и единицы и : к —^ Я в алгебре Хопфа Я заданы Ахлинейные операции коумножения Д : Я —» Я ® Я, согласованного с т, и коединицы є : Н ^ к, а также антипода 5“ : Я —> Я, согласованного с умножением и коумножением, а именно, коммутативны следующие диаграммы.
Ассоциативность алгебры с единицей:
Я® Я ® Я-
к1%>т
я®я —
- я ® я

/с ® Я

Я ® к
Коассоциативность коалгебры с коединицей:

-Я® Я
я® я-

я®я® я
/с® Я
Я ® /с
Согласованность умножения и коумножения:
Я® Я-

■ я® я

н ® н ® н ® н

точным неприводимым проективным представлением построим алгебры Хопфа со всевозможными матрицами U.
Теорема 1.7. Пусть G — абелева группа симметрического типа с разложением (1-10) и точным неприводимым проективным представлением ф вида (1-11). Тогда на векторном пространстве Н — @geakeg ® Mat(n,k)E корректно задаются алгебры Хопфа при помощи следующих отображений.
• g —*• х — AgxAg1;
. x^g = {UtAgU~1)x{U 1Ад-1и~1);
• = „ E"j=i Е%з ® (5-1 -*■ S(EJZ));
• A(efi) = Е/геС eh ® eh~'g + A9>'
• A(z) = Essg[(5 ^ ж) ® еэ + e3 <8) (x #)];
• e(eg) = ^9,1/
• e(x) = 0;
• S(z) = UfxUl.
Здесь Ag = 'ф(д) из (1 11). Если n нечетно, то матрица U симметрична. Если п четно, то матрица U либо симметрична, либо кососимметрична. При этом в качестве матрицы U можно взять любую матрицу, при которой для любого g,h € G в PGL(n: к) выполняется равенство
(ф(д),иЩк)и-1] = 1. (1.12)
В случае, когда группа G представляется в виде произведения двух циклических групп G = (а) х (Ь)п, это условие эквивалентно следующему: для