Подгрупповое строение АТ-групп

• Автор: Первова, Екатерина Львовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 112 с.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ

1 Предварительные сведения Ю

1.1 Основные определения

1.1.1 Сферически регулярные деревья

1.1.2 Автоморфизмы деревьев

1.1.3 АТ-группы

1.2 Факторгруппы по коммутанту

1.3 Основные примеры

1.3.1 Периодические группы Григорчука

1.3.2 Вторая группа Григорчука
1.3.3 Периодические СС5-группы С&
1.3.4 ЕСЗ-группы Га
2 Конгруэнц-проблема
2.1 Группы Григорчука
2.1.1 Группы
2.1.2 Вторая группа Григорчука
2.2 СС5-группы
2.2.1 Нормальные подгруппы 6(75-групп
2.2.2 Конгруэнц-свойство в 5-группах с несимметричным сопровождающим вектором
2.2.3 Конгруэнц-свойство в СДй'-группах с симметричным сопровождающим вектором
2.3 АТ-группы без конгруэнд-свойсгва
2.3.1 2-порожденные АТ-группы без конгруэнц-свойства .
2.3.2 ЕС5-группы
3 Максимальные подгруппы
3.1 Срезки подгрупп групп Григорчука: специальный случай .
3.2 Срезки подгрупп ОС^-групп: специальный случай

3.3 Всюду плотные подгруппы
3.3.1 Максимальные подгруппы бесконечного индекса
3.3.2 Группы
3.3.3 СС5-группы
3.3.4 ЕСБ-трутты
4 Подгруппы степеней
4.1 Группы Гупта-Сидки
4.2 Группа почти без кручения
Библиография
Введение
Диссертация посвящена изучению некоторых свойств АТ-групп одного подкласса групп автоморфизмов деревьев.
В 1972 году в качестве контр-примеров к общей проблеме Бернсайда С В. Алешин [1] указал семейство конечно порожденных бесконечных р-групп (самый первый пример не локально конечной периодической группы был построен в 1964 году Е.С. Голодом [7]). Группы Алешина возникли как группы автоматных преобразований, но допускали и другое описание, в частности, как группы преобразований множества р-ичных долей отрезка и как группы автоморфизмов р-дерева. На языке групп преобразований множества 2-ичных долей отрезка в 1980 году Р.И. Григорчук построил аналогичное семейство групп Gu — бесконечных 3-порожденных 2-групп, которые обладают рядом других интересных свойств, в частности, промежуточным ростом (это были первые контр-примеры к гипотезе Милнора) [8, 9]. Позже Ю.И. Мерзляков показал, что оба этих типа групп тесно связаны друг с другом и составляют по существу одно семейство — группы Григорчука являются секциями групп Алешина, а те в свою очередь могут быть собраны из нескольких экземпляров своей секции Григорчука [21]. Также примеры р-групп, схожих с группами работы [1], были приведены в [15] на языке автоморфизмов деревьев.
АТ-группы, или группы алешинского типа, были определены A.B. Рожковым в [39] как обобщение перечисленных выше примеров; там же были доказаны многие их основные свойства. Подкласс АТ-групп, являющихся экстремальными (т.е. таких, все собственные факторгруппы которых конечны), составляет важное подмножество в классе так называемых ветвящихся групп [14] — одном из трех классов, на которые разбивается класс всех экстремальных групп [49].
С другой стороны, многие интересные и легко доступные изучению АТ-группы являются в то же время самоподобными группами в смысле [22]. Они также получили название фрактальных, по двум причинам. Во-первых, у ряда известных примеров хаусдорфова размерность

Легко видеть, что [GU,GJ порождается элементами (аЬш)2, (асД2, (а<4,)2. Согласно нашему предположению,
Фі((й6а,) ) — ipau)(L^ йЬаш) ) Ф((йсД ) — (СсгиЩ, СЬСаш ), Фі((й(Іи)) ) — {d^u.’ДстД-
Таким образом, для всякого элемента у Є [Gu, GJ и для всякой вершины и длины 1 іри{у) принадлежит одному из следующих смежных классов: [Go-w, Gau], d(j и nv — вершины длины 1, то ри{у) и у{яшУ) лежит в смежном классе dau[Ga^,Gaul], а вторая — в смежном классе [Gff„,
Рассмотрим смежный класс dau [Gffu, G„J. Предположим сначала, что т(ш) = 1 (т.е. и2 ф loi). Тогда Ф1(о!(гш) = (a,daги), и, как и выше, для любого г Є [Gau}, Gau] найдется вершина и длины 1 такая что ipu(daulz) не принадлежит stc 2 (1). Это означает, что исходный элемент хшу = быу не принадлежит stc^S).
Очевидная индукция по т(ш) теперь показывает, что всегда найдется такая вершина и (длины, не превосходящей т(и>) + 1), что срезка <ри(хиу) не принадлежит stc |u| (1). Отсюда следует, что х^у не принадлежит stc„(|u| + 1). Таким образом, хыу заведомо не принадлежит stGu,(m(o;) + 2). □
Замечание 2.1.1. Из доказательства леммы 2.1.1 следует, что [GW,GU] содержит коигруэнц-подгруппу st{т(Д + 2).
Предложение 2.1.1. Для любой последовательности ш Є Г20 и любого продольного порождающего € {Ьи,сы, бД нормальное замыкание элемента (xwa)2 содержит некоторую конгруэнц-подгруппу.
Доказательство. Как и в лемме 2.1.1, рассмотрим смежные классы по нормальному замыканию N некоторого элемента (хыа)2. Обозначим через продольный порождающий, выбранный следующим образом. Если хи не является d-порождающим, то в качестве возьмем d-порождающий. Если же хш — d-порождающий, то в качестве уw возьмем с-порождающий.
Из леммы 1.3.1 и следствия 1.3.1 следует, что факторгруппа группы G„ no N изоморфна конечной группе (хД х (а,уи). Зафиксируем следующую систему представителей смежных классов по N: обхД, где i,j Є GF(2) и s Є (уы,у£).