Теорема Римана-Роха для операций в когомологиях алгебраических многообразий

• Автор: Смирнов, Александр Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 110 с.

Терминология и обозначения
1 Теории когомологий
1.1 Определение и примеры
1.2 Бесконечномерные конструкции
1.3 Гомотопические свойства векторных расслоений
1.4 Деформация к нормальному конусу
1.5 Общие свойства теории когомологий
1.6 Мультипликативные структуры
1.7 Алгебраическая надстройка
1.8 М-группы
1.9 Операции
2 Ориентированные теории
2.1 Ориентации
2.2 Операторы Гизина
2.3 Параметры
2.4 Характеристические классы
2.5 Пространство ориентаций
2.6 Формальная группа ориентированной теории
2.7 Определение трансферов и связь с ориентацией
2.8 Дифференциалы и вычеты
2.9 Свойства трансферов
2.10 Построение трансферов
3 Операции в ориентированных теориях
3.1 Якобиан операции и классы Тодда
3.2 Операции и дифференциалы
3.3 Теорема Римана-Роха
3.4 Канонический трансфер

Р 3.5 Теорема Римана- Роха и замена переменной в интеграле
3.6 Классы Тодда в топологии
Список литературы

Тема диссертации восходит к статье Бернгарда Римаиа "Теория абелевых функций" 1857 года [32]. В этой работе, помимо прочего, доказано неравенство, которое в более современной терминологии можно записать так
l(D) > degD-0 + 1, (1)
где д - род компактной римановой поверхности X, D - дивизор на X степени deg D. При этом l(D) - размерность пространства
L(D) = {feC(X)dwf + D>0} (2)
мероморфных функций / на X, удовлетворяющих условию
ordp(/) + ordp(D) > 0 (3)
для всех точек Р Е X. При этом ordp(/) - порядок нуля /, а ordpD
кратность дивизора D в точке Р. Например, для эффективного дивизора D, которые только и рассматривал Риман, речь идет о пространстве мероморфных функций, имеющих заданный набор полюсов, причем кратности этих полюсов ограничены сверху кратностью дивизора D в соответствующих точках.
Результат Римана был усилен в статье Густава Роха "О числе произвольных констант в алгебраической функции" 1865 года [33]. А именно, там было получено равенство
l{D)-l(K-D) = degD-g + l, (4)
где К - канонический класс дивизоров X, то есть класс дивизора
произвольного мероморфного дифференциала на X.
Равенство (4) и его обобщения получили название теоремы Римана-Роха. Эта теорема стала одним из основных инструментов алгебраической геометрии.
Ряд авторов предприняли попытки обобщить теорему Римана-Роха на двумерную ситуацию. Цель такого обобщения состояла в том, чтобы вычислить размерность полной линейной системы, связанной с дивизором D на проективной алгебраической поверхности X. Иными словами,
1.7.10. Топологические теории (см. 1.1.7). Здесь А - категория градуированных модулей над градуированным R с Яг = Al(pt). Теории из 1.1.7 сферически стабильны, причем Ea(R) ~ (S'1, pi) и для подкрутки имеется соотношение Mp](q) = М[р — g]; Ea(C) ~ (S2,pt) и М[р](д) = М[р]; Е0(И) ^ (S4,pi) и М[р](д) = М[р + 2д].
Далее по умолчанию предполагается, что Л - сферически стабильная теория.
1.8 Л-группы
Поскольку используемая ниже в ориентируемом случае структура ко-алгсбры на Л(Р30) связана с общегомотопическими свойствами Р00, то имеет смысл обсудить ее до введения ориентаций.
1.8.1 Определение. Гладкое многообразие G называется А-группой, если G плоское, функтор X —» А(Х х G) на категории гладких многообразий снабжен структурой алгебры Хопфа над А(Х), причем коедииица может быть реализована некоторой точкой pt —> G. G коммутативна, если таково коумиожепие в А(Х х G). Это определение применимо и к бесконечномерным многообразиям.
Пространство Р00, в случае его плоскости, наделено структурой Л-группы, поскольку гомотопические Х-точки Р00 образуют группу PicX. Технически структура группы вводится с помощью характеристических операторов, представляющих геометрию на уровне Л, из свойств которых (см. 1.3.3) вытекает следующая
1.8.2 Теорема. Пространство Р00, в случае его плоскости, коммутативная A-группа относительно следующих данных: коумиожепие 7 = j*mL, антипод i = j*L.!; где Ь/Р00 тавтологическое расслоение, коедииица £ = Д, где 1 — Opt.
Например, Рп и Р00 плоские для ориентируемой теории (см. 2.6). Если рА — 0 для простого р и п = рг — 1, то Рп - подгруппа Р00. Это ядро г-той степени Фробениуса.
1.8.3 Замечание. Л„ действует тривиально на ((?+)®" для гомотопически абелевой группы и G+ может использоваться в качестве надстройки, сохраняющей (g>-структуру.