Абелевы группы без кручения малых псевдо-рациональных рангов

• Автор: Царев, Андрей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 69 с.

Содержание
Введение

Обозначения и некоторые определения

1 Двойственность между категориями Т и ОТТ

1.1 Модули над кольцом псевдо-рациональных чисел

1.2 Д-модули псевдо-рационального ранга

1.3 Матрицы р-отношений

1.4 Категория Т

1.5 Модуль псевдо-рациональных отношений

2 Некоторые классы абелевых групп без кручения конечного ранга

2.1 Абелевы группы без кручения псевдо-рационального

ранга
2.2 Почти делимые группы
2.3 Условие равенства псевдо-рационального и обычного
ранга группы
2.4 Связь между псевдо-рациональным рангом и модулем псевдо-рациональных отношений
Библиография

Введение
Первая волна интереса к абелевым группам без кручения конечного ранга возникла еще в рамках общей теории групп в связи с открытием двойственности Л. С. Понтрягина [10] в 1934 г. В этой работе, в частности, был построен пример неразложимой группы без кручения ранга 2 и доказан критерий свободности счетной абелевой группы.
Дальнейшее развитие теории групп без кручения конечного ранга связано с работами А. Г. Куроша [8], А. И. Мальцева [9] и Д. Дерри [31], вышедшими в 1937 - 1938 гг., где они независимо друг от друга получили описание абелевых групп без кручения конечного ранга при помощи классов последовательностей матриц с р-адическими элементами. Тогда же вышла работа Р. Бэра [25], которая на протяжении длительного времени была основным источником идей при исследовании этого класса. В частности, в [25] с помощью типов были описаны группы без кручения ранга 1, а также установлена неразложимость сервантных подгрупп группы целых р-адических чисел, т. е. получены неразложимые группы произвольных мощностей, не превосходящих мощность контину-

Важное с теоретической точки зрения матричное описание Ку-роша-Мальцева-Дерри не имело хороших приложений, так как указанные матрицы слишком привязаны к базису группы и дают мало информации о группе в целом. В 1976 г. А. В. Яковлев [19] показал, что задача классификации абелевых групп без кручения конечного ранга является «дикой» в том смысле, что она содержит в качестве подзадачи тестовую задачу о паре матриц. Позднее аналогичные результаты были получены Е. Лейди [35] и Д. Арнольдом [24] для некоторых более узких классов групп.
В 40-е, 50-е годы, в основном благодаря работам Л. Я. Куликова [3] - [7], теория абелевых групп выделилась в самостоятельную ветвь алгебры. В работах [3] - [7] существенную роль играла идея перехода от групп к более просто устроенным модулям над различными кольцами. Эта же идея лежит в основе методов, применяемых в данной диссертации.
Вторая волна интереса к классу абелевых групп без кручения конечного ранга возникла в конце 50-х годов в связи с работами Б. Ионссона [33] и [34]. С тех пор интерес к этому классу групп не снижался и особенно велик в настоящее время. Б. Ионссон открыл аномальность в прямых разложениях абелевых групп без кручения конечного ранга. В примере Б. Ионссона группа ранга 4 раскладывается в прямую сумму неразложимых групп ранга 2, она же раскладывается в прямую сумму неразложимых групп ранга 3 и 1. Б. Ионссон нашел выход из создавшегося положения путем замены

Рассмотрим отображение Ф : Нот(С, В) —> ДМ* по закону: Ф(у?) = (<р(х1(р(хп)).
Очевидно, что Ф задано корректно. Покажем, что Ф - инъекция. Предположим, что Ф(^1) = Ф(ф2), т. е.
щ{хх) = <р2(х1),..., <р1(хп) = <р2(х„).
Если д - произвольный элемент из (7, то тд = тпХ + ... + тпхп при некотором натуральном т, и, значит,
<р1(тд) = ^1(77x12:1) + ... + д>1{тпхп) ~
= <Р2(ТП1®1) + • • • + = Ыт3)'
Тогда 773(^1(5') — <р2{д)) — 0. Но в А нет элементов конечного порядка, следовательно, <Р(д) — <р2(?) — 0> т- е- Ф1 = Ч>
Покажем, что Ф - сюръекция. Пусть (г*,... ,г„) - произвольный
элемент из АМх- Как показано выше, условие (гх,... ,гп) 6 АМх

равносильно тому, что М@
— 0, а, следовательно, по теоре-
ме 4 существует такой гомоморфизм <р £ Яот.(С, В), что
фОО = п,...,*?(®„) = г„.
Значит, Ф(<р) = (гь...,г„).
Таким образом, получили, что Ф - биекция.
Пусть <Р1У <р2 € Нотп(С, Л) и г е Д, тогда
Ф(ф1 + фз) = ((ф1 + Ф2)(хх), ■ ■ • , (ф1 + Ф2)(*»)) =