Теоремы о гомотопической инвариантности и этальном вырезании для предпучков с Witt-трансферами

• Автор: Дружинин, Андрей Эдуардович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 74 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1 Предварительная
1.1 Предварительные сведения
1.2 Предпучки с ІГШ-трансферами
Глава 2 Ассоциированный пучок в топологии Зарисского
2.1 Инъективность на аффинной прямой
2.2 Вырезание на
2.3 Гомотопическая инвариантность ассоциированного пучка
Глава 3 Ассоциированный пучок в топологии Нисневича
3.1 Этальное вырезание в размерности
3.2 Гомотопическая инвариантность ассоциированного пучка
Глава 4 Дополнительные результаты
4.1 Вырезание на Ау
4.2 Ассоциированный пучок как предпучок с ТГгй-трансферами
4.3 Этальное вырезание в размерности п
4.4 План построения категории ТГй1-мотивов
Список литературы

Введение

Введение
Различные теории когомологий играют важную роль в алгебраической геометрии. Для их исследования используются категории мотивов, которые помогают вычислять и доказывать свойства известных теорий когомологий, а также конструировать новые.
Данная диссертация является частью решения задачи по построению триангулированной категории ОШМ(к), называемой категорией ИЛМ-мотивов, и доказательству ее основных свойств. Теории когомологий, строящиеся по ней, будут наделены действием кольца Витта основного поля. Роль и место этой категории видны из следующей гипотетической картинки. Стабильная мотивная гомотопическая категория Воеводского 311 (к) снабжена естественной инволюцией. Поэтому рационально она разбивается в прямую сумму двух категорий ЗН(к)+ и ЗН(к)~. Согласно теореме Мореля категория ЗН(к)+ эквивалентна рациональной категории мотивов Воеводского ОМ(к)«3. Ожидается, что категория ЗН{к)~ эквивалентна рациональной категории Vitt-мотивов 0¥М(к)
Это одна из причин, почему И.А. Паниным была поставлена задача построить категорию Шгй-мотивов по образцу конструкции Воеводского для категории мотивов ИМ (к). Построить и доказать ее основные свойства. Другая причина в том, что должен быть естественный функтор
Дщ : БII(к) -> ОШМ(к),
который является алгебраическим аналогом функтора вещественной реализации. (Функтор 5Д(/с) —> ИМ (к) следует рассматривать как алгебраический аналог функтора комплексной реализации). Наконец, третья причина в том, что построение ИЛ'й-мотивов и решение связанных с этим задач - это отличный полигон для изучения оснащенных соответствий Воеводского (здесь многое упрощается, но не все, и возникает возможность нахождения правильных формулировок и методов работы с оснащенными соответствиями).
В июне 2014 года выяснилось, что в построении категории ШШ-мотивов заинтересован М. Левин (один из главных экспертов по /В-гомотопиям и их приложениям). Кроме того, родственной темой занялись П. Остваер (Норвегия), Ж. Фазель (Швейцария), М. Шлихтинг (Англия). Наконец, выяснилось, что имеется тесная гипотетическая связь ИДД-мотивов с линейными оснащенными мотивами из работы Г. Гаркуши и И. Панина.
Забегая вперед, укажем на некоторые свойства предполагаемой категории Vitt-мо-
Введение

тивов DWM(k). Это полезно сделать, чтобы пояснить, почему важны теоремы, доказываемые в диссертации. Прежде всего, в диссертации вводится категория Wor(k). Ее объекты - это гладкие (аффинные) многообразия над полем к, а морфизмы Wor(X, Y) - это группа Витта некоторой категории с двойственностью, строящейся по X и Y. Категория W or (к) снабжена функтором Sm(k) Ф Wor(k), который тождественен на объектах. Предпучки абелевых групп на категории Wor(k) называются предпучками с Witt-трансферами. Пучок Нисневича с Witt-трансферами — это такой предпучок J- с Witt-трансферами, что ограничение Т на категорию Sm(k) является пучком Нисневича.
Как легко вывести из теоремы А, сформулированной ниже во введении, категория SNwittTr(k) пучков Нисневича с ИТй-трансферами является абелевой. Эта категория лежит в основе определения категории Witt-мотивов DWM(k), которое мы сейчас дадим. Сначала рассматривается производная категория DSNwittTr(k) абелевой категории SNwittTr(k), а затем в производной категории DSNWittTr(k) рассматривается полная подкатегория DWM(k), состоящая из таких комплексов А*, все пучковые когомологии которых hl(A‘) являются гомотопически инвариантными пучками Нисневича (с ГГШ-трансферами). Категория DWM(k) и называется категорией Witt-мотивов поля к. Объекты категории DWM(k) называются мотивными комплексами.
Гладкому /г-многообразию Y можно сопоставить его Witt-мотив MW(Y), ковари-антно зависящий от Y. Одно из ключевых гипотетических свойств И^Ш-мотива MW(Y) следующее: для любого мотивного комплекса А* должны иметь место естественные изоморфизмы
Kis(Y,A') = HomDwmk)(M(Y),A-p}).
В частности, это свойство гипотетически должно быть выполнено для любого гомотопически инвариантного пучка Нисневича К с ТТШ-трансферами, рассмотренного как чистый комплекс с пучком К в позиции номер ноль. Т.е. должны быть справедливы равенства
Я^(У,Ф) = HomDWM(k)(M(Y),Fp).
Мотив MW(Y) гипотетически должен быть гомотопически инвариантен, т.е. MW(Y) = MW(Y х А1). Поэтому естественно ожидать, что для каждого р функтор когомологий Y н-э Яд,;8(К J-) гомотопически инвариантен для таких пучков Т. Т.е. для таких пучков
Глава

Для построения искомых морфизмов Ф, 0 и S] достаточно построить:
1) Р — квадратичное пространство в Proj(prp), где ргц: X1 х U —» U — каноническая проекция. Т.е. Р £ К[Х’ х U] — mod — конечнопорождённый над K[U] и АДХ' х /7]-линейный изоморфизм qp: Р — Нот(Р, K[U]),
2) Н — квадратичное пространство в Proj(prAixU), где prAixU: X1 х А1 х С/ —> А1 х U — каноническая проекция. Т.е. Н £ К[Х х А1 х U] — mod — конечнопорождённый над /ДА1 х U] и АДХ х А1 х /Д-линейный изоморфизм qp: Н ~ Нот(Н, А'[А1 х С/]),
такие, что:
3) канонические отображения:
Р ®к[и] АД/7 — z] —> /Л[Х' — Д] ®х[х'] А ®а'[с/] АД/7 — z],
(3.1.1)
Н ®к[1/] К[U — z] —> К[Х — z] ®к[х] Н ®к[и А [U — z] являются изоморфизмами,
4) существуют изоморфизмы квадратичных пространств:
jo*{H,qH) ^ тгс/ДДдр),
(ЗЛ.2)
3*{H,qH) ^ (АТ[Д], где <7д — единичная квадратичная форма на А'[Д] (т.е. форма, получаемая из единичной при помощи изоморфизма АДД] ~ АД/7]), и КХ х /7]-модуль G, на котором определена квадратичная форма qc, обладает свойством G ~ К[Х — z] Хк[х G.
Будем строить эти модули с помощью специально выбранных глобальных сечений пучков s' £ ££{nD'li) на х'ц, s £ J4f(lnDu xai) на XUxAi и so, Si £ rr(lnDu) на Хи (нижними индексами здесь обозначены замены базы), которые будем находить с помощью следующей подлеммы, являющейся следствием теоремы Серра (теорема 5.2, гл. 3 из [3]):
Подлемма ЗЛЛЛ Пусть X — проективная схема над спектром некоторого нётеро-вого кольца, Z — замкнутая подсхема, 3? — когерентный пучок и Г£ — очень обильное линейное расслоение на X. Для всех п, больших некоторого к, ограничение r(j?®J2?®n) —>• r((^®if®")|z) —сюръективно.