Аппроксимируемость обобщенных свободных произведений групп в некоторых классах конечных групп

• Автор: Розов, Алексей Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Иваново
• Количество страниц: 88 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
1 О финитной аппроксимируемости и финитной отделимости подгрупп свободного произведения разрешимых групп конечного ранга с нормальной объединенной подгруппой
1.1 Основные результаты первой главы
1.2 Вспомогательные утверждения
1.3 Доказательство теоремы 1.
1.4 Доказательство теоремы 1.
1.5 О существенности требования конечности ранга в теореме 1.3
2 О почти аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения полициклических групп с нормальной объединенной подгруппой
2.1 Основные результаты второй главы
2.2 Предварительные утверждения
2.3 Доказательство теоремы 2.
3 О почти аппроксимируемости конечными /.»—группами свободного произведения нильпотентных групп конечного ранга с нормальной объединенной подгруппой
3.1 Основные результаты третьей главы
3.2 Дополнительные утверждения
3.3 Доказательство теоремы 3.
3.4 Доказательство теоремы 3.
4 Об аппроксимируемости конечными л-группами свободного произведения иильпотеитных групп конечного ранга с центральной объединенной подгруппой
4.1 Основные результаты четвертой главы
4.2 Предварительные замечания
4.3 Доказательство теорем 4.1 и 4.
Заключение
Список литературы

Введение
Актуальность темы
Пусть /С — некоторый класс групп. Напомним, что группа С? называется аппроксимируемой группами из класса /С (или, короче, /С-аппроксимируемой), если для каждого неединичного элемента х из б? существует гомоморфизм группы С на группу из класса АС, образ элемента х относительно которого отличен от единицы. Напомним, что группа С? называется почти /С-аппроксимируемой, если она содержит АС—аппроксимируемую подгруппу конечного индекса. Если Т обозначает класс всех конечных групп, то понятие ^-аппроксимируемой группы совпадает с классическим понятием финитно аппроксимируемой группы. Наряду с финитной аппроксимируемостью изучаются также свойства Тр-аппроксимируемости и ^-аппроксимируемости, где р — простое число, п — какое-либо множество простых чисел, — класс всех конечных р-групп, — класс всех конечных 7г-групп. Будем рассматривать также свойство почти Тр-аппроксимируемости, являющееся промежуточным между финитной аппроксимируемостью и ./-^-аппроксимируемостью.
Хорошо известно, что все свободные группы финитно аппроксимируемы и даже ./ф-аппроксимируемы для каждого простого числа р (см. [31]). Другим примером финитно аппроксимируемой группы является произвольная полицик-лическая группа. Финитная аппроксимируемость полициклических групп была доказана К. Гиршем в работе [30]. Более того, любая полициклическая группа почти Тр-&а прокси м и рус м а для каждого простого числа р. Этот результат, ставший уже классическим, был получен А. Л. Шмелькииым [21]. Вопрос об ./^-аппроксимируемости полициклических групп исследован только для некоторых частных случаев, например, для конечно порожденных нильпотентных групп (см. [27]) и для сверхразрешимых групп (см. [3]).
Одним из обобщений понятия полициклической группы является понятие разрешимой группы конечного специального ранга. Напомним, что группа С называется группой конечного специального ранга (в другой терминологии — группой конечного ранга Прюфера), если существует целое положительное число г такое, что любая конечно порожденная подгруппа группы С порождается не более чем г элементами (наименьшее такое г будем называть

рангом группы). Это понятие, а также термин "конечный специальный ранг" введено А. И. Мальцевым в статье [16]. Будем в дальнейшем использовать термин "конечный ранг" вместо терминов "конечный специальный ранг" и "конечный ранг Прюфера". Примерами разрешимых групп конечного ранга являются все полициклические группы, а также группы Баумслага-Солитэра вида Сп = (о, Ь; Ь лаЬ = а11), где п — произвольное целое число, отличное от 0.
Д. Робинсон [36, п. 5.3.2] доказал, что разрешимая группа конечного ранга финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда она редуцирована. Напомним, что группа называется редуцированной, если она не содержит неединичных полных подгрупп. Группа С называется полной, если для каждого элемента а группы С? и для каждого целого положительного числа п уравнение хп = а разрешимо в группе С. Очевидно, что любая полициклическая группа редуцирована. Поэтому частным случаем сформулированного выше результата Робинсона является результат Гирша о финитной аппроксимируемости полициклических групп.
Наряду со свойством финитной аппроксимируемости групп изучается также свойство финитной отделимости. Напомним, что подгруппа Я группы 67 называется финитно отделимой, если для каждого элемента а группы 6?, не принадлежащего Я, существует гомоморфизм группы О на некоторую конечную группу, при котором образ элемента а не принадлежит образу подгруппы Я.
В работе [17] исследуется вопрос о финитной отделимости подгрупп в разрешимых группах и доказано, что в ограниченных разрешимых группах все подгруппы финитно отделимы. Напомним (см. [17]), что разрешимая группа называется ограниченной, если в ней существует конечный ряд подгрупп, каждый предыдущий член которого является нормальной подгруппой следующего его члена, и факторы которого являются ограниченными абелевыми группами. Абелева группа А называется ограниченной, если все примарные компоненты ее периодической части т(А) конечны, фактор-группа А/т(А) имеет конечный ранг и никакая фактор-группа группы А/т(А) не содержит квазициклических подгрупп. Очевидно, что любая полициклическая группа является ограниченной разрешимой, и поэтому все подгруппы полициклических групп финитно отделимы.

— свободное произведение групп А и В с подгруппами Н и К объединенными относительно изоморфизма <р, продолжающего отображение Ь, >—> к. Покажем, что группы А и Б финитно аппроксимируемы, подгруппы Н и К финитно отделимы в группах А и Б соответственно, но группа С? при этом не является финитно аппроксимируемой.
Очевидно, что фактор-группа А/Н имеет представление
А/Я = {щ (г е I); щщ = щщ, а* = 1 (г, I е /)), (1.6)
и поэтому может быть представлена как прямое произведение всевозможных циклических я*-групп. Хорошо известно и легко проверяется, что прямое произведение любого семейства финитно аппроксимируемых групп финитно аппроксимируемо. Из последних двух предложений следует, что фактор-группа А/Н финитно аппроксимируема или, что равносильно, подгруппа Я финитно отделима в группе А. Аналогичным образом может быть установлен тот факт, что подгруппа К финитно отделима в группе В.
Покажем, что группа А финитно аппроксимируема. Для этого построим для каждого неединичного элемента а из А гомоморфизм группы А на конечную группу, при котором образ а будет отличен от 1.
Рассмотрим сначала случай, когда а ^ Я. Пусть
е : А —> А/Я
— естественный гомоморфизм. Тогда образ элемента а относительно е отличен от 1. Выше было показано, что фактор-группа А/Н финитно аппроксимируема. Поэтому существует такой гомоморфизм ф группы А/Я на некоторую конечную группу, что аеф Д 1. Очевидно, что еф — искомый гомоморфизм.
Теперь рассмотрим случай, когда а Е Я. Пусть q — некоторое тг'-число. Так как а — неединичный элемент бесконечной циклической группы Я, то существует такое целое положительное число г, что а не принадлежит подгруппе Б = НцГ группы Я. Очевидно, что Я/Б — конечная д-группа. Так как группа А/Я периодическая, а группа Я/Б конечна, то группа А/Б также является периодической. Кроме того, подгруппа Я/Б совпадает д-компонентой группы А/Б. Действительно, пусть хЬ — д-элемент группы А/Б. Тогда элемент хН является д-элементом группы А/Я. Отсюда и из того, что А/Я — тг-грунпа