Автоморфизмы свободных алгебр и функции на группах лиева типа ранга 1

• Автор: Ушаков, Юрий Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 59 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Функции на группах и автоморфизмы алгебр
1.1 Ручные и дикие автоморфизмы свободных ассоциативных
алгебр
1.2 Функции Эйлера-Холла на группах и гомоморфизмы свободных групп на га-порождённые группы
1.3 Функция числа классов сопряжённых элементов и гипотеза
Пыбера для класса групп лиева типа ранга
1.4 Оценка га-й функции Эйлера-Холла
Глава 2. Вопрос о второй функции Эйлера-Холла на группах лиева типа ранга 1
2.1 Подгрупповые описания групп Ри и унитарных групп
2.2 Рекуррентные формулы для второй функции Эйлера-Холла
с^2 на унитарных группах и группах Ри
2.3 Решение вопроса о функции на группах Ри
Список литературы

Введение
В диссертации исследуются вопросы о функциях на конечных группах и автоморфизмы свободной ассоциативной алгебры.
В 1969 году в Коуровской тетради J1. А. Бокуть записал
Известный вопрос. Описать группу автоморфизмов свободной ассоциативной алгебры ранга п > 2 [6, Вопрос 3.3].
Для свободной ассоциативной алгебры Ап (с единицей) ранга п над полем естественно определяются элементарные автоморфизмы; порождённые ими автоморфизмы называют ручными, а остальные автоморфизмы — дикими. Таким образом, вопрос 3.3 сводится к нахождению и описанию диких автоморфизмов. Трудным оказывается даже вопрос, когда группа Aut А„ совпадает с подгруппой всех ручных автоморфизмов Ап.
Ещё к началу 1970-х годов А. Г. Чернякевич было доказано, что все автоморфизмы алгебры А2 — ручные. Первый «подозрительный» автоморфизм выявился уже для алгебры A3. В монографии Кона [17] он называется автоморфизмом Аника. Лишь в 2003 году завершено доказательство его дикости в случае основного поля характеристики 0, И. П. Шестаков и У. У. Умирбаев [36], [12]. Примечательно, как показали в 2005 году те же авторы, что тождественное продолжение автоморфизма Аника на алгебру Ап ранга п > 3 всегда даёт ручной автоморфизм.
Эти работы опирались, в первую очередь, на метод свободных дифференцирований Фокса и матриц Якоби. В 2004 г. на основе тех же методов В. А. Романьков [9] установил критерий обратимости эндоморфизма алгебры Ап.
Уже краткий обзор указывает на трудность получения результатов в этом направлении и на необходимость разработки новых подходов.
В 1936 году Ф. Холл [26] ввёл важные функции на конечных группах G, исследуя гомоморфизмы свободных групп на n-порождённые группы. Он называет п-базой конечной группы G всякий упорядоченный порож-

дающий набор п её элементов. Число всех тг-баз группы С обозначает через <рп{0), называя (рп тг-й обобщённой функцией Эйлера. (Её называем также функцией Эйлера-Холла.) Очевидно, когда О — циклическая группа, С другой стороны, в [26] доказано существование для любой (известной) конечной простой неабелевой группы С и натурального числа п наибольшего числа с5 = бп(С) такого, что прямая степень Сг1 порождается п элементами. Там же установлена взаимосвязь введённых функций: ¥>„( С. А. Сыскин записал в Коуровской тетради вопрос вычисления значений (^(С) для конечных простых групп С [6, вопрос 12.86]. Конечно, для чисел ^2( Более естественна, в целом, гипотеза Уайголда:
Если (7 — конечная простая неабелева группа, то ^2(С) > fG [6, вопрос 17.116].
В работах Эрфаниана, Реза, Мароти и Тамбурини гипотеза Уайголда, по существу, изучена [20], [21]. [22[, [23], [32]. Минимальное число элементов, порождающих прямую степень группы, изучалось в [39]-[42].
Числа ^2(С) изучались для конечных простых групп лиева типа ранга 1. Их рекуррентное описание для групп Сузуки 2В-2(2т) и групп РЗЬ2(2т) получили Н.М. Сучков и Д.М. Приходько [11]. Числа Щ2(С) вычислены Ф. Холлом в [26] явно для групп РЙ’Тг]«?) с простыми д (как и для некоторых групп подстановок малых степеней); для нечётных д их изучал Д. М. Приходько [7], [8].
Случай оставшихся групп Ри 2Сг(д) и унитарных групп Рвиз(д2) мало изучен; они отличаются тем, что в них существуют неразрешимые подгруппы с неединичным разрешимым радикалом [5].

имеем с?2(<Дд)) — уДДд)] — 5 С ДРУГ0Й стороны, продифферен-
цировав /(д) шесть раз по д, имеем:
л,п , „ 1575 943
/ (г) = 840---------Н--------у---Н--ту > 0 при всех д > 0.
256 - 78125 • дт ~
Как и в предыдущих двух случаях, функция /(д) и её производные порядка < 5 возрастают и положительны при д > 27. Отсюда следует справедливость оценки (1.4.1) для групп Яе(д).
Случай групп РБи3(д2).
Пусть 5 — число пар, с точностью до сопряжения лежащих в одной из подгрупп, изоморфных Лб, Л7, Мю, Р5П2(7). Тогда 5 < 3|С?(<7)|(|^47| + 2|Л| + |-Р5Х2(7)| + |Л7(у43,з)|) = Ю872|С(д)|. Подгруппы Р5П3(т2) и 50з(д) учтены в лемме 1.4.3. Имеем:
Д №)) >^-р(д&-д6~(с1+ 1)д4 + д3 - 10д2 - 8д - 10872) >
—-д_1/1° (д8 -д& -{(1+ 1)д4 + д3 - Юд2 - 8д - 10872) .
Для функции
Ш = V + 93 - Юд2 - 8д - 10872) - д41/
верно неравенство <72((Дд)) — у'']Дд)[ > д"_1Л°/(д). Аналогично предыдущим случаям устанавливается, что /(д) > 0 при д > 5. Для д = 3 и д = 4 с помощью [24] нетрудно установить, что
Д(Р57У3(32)) = 5568 > /б046 = у/РЗи3(32)[,
сДРАС/зД2)) = 61068 > Д62400 - у/РЯЩЩ.
Таким образом, доказательство теоремы 1.4.1 полностью завершено.