Асимптотические свойства критериев симметрии и согласия, основанных на характеризациях

• Автор: Литвинова, Виктория Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 127 с.

1 Вспомогательные сведения
1.1 Сведения из теории I/— и V— статистик
1.2 Определение и вычисление бахадуровской эффективности
1.3 О больших уклонениях II— и V— статистик
2 Критерии симметрии Варингхауза-Хенце
2.1 Введение
2.2 Статистика Я*
2.3 Статистика
3 Критерии экспоненциальности
3.1 Введение
3.2 Статистика Я*
3.3 Статистика Я^„
4 Критерии нормальности
4.1 Введение
4.2 Статистика В^п
4.3 Статистика „
4.4 Статистика п

5 Критерии согласия с законом Коши
5.1 Введение
5.2 Статистика Ь
5.3 Статистика М*
Заключение
Литература

В настоящей диссертации строятся и исследуются критерии согласия и симметрии, основанные на характеризационных свойствах распределений, а также вычисляется их асимптотическая относительная эффективность для ряда альтернатив.
Построение статистических критериев и изучение их асимптотических свойств является одной из важнейших задач математической статистики. При проверке простой гипотезы против простой альтернативы задача решается с помощью леммы Неймана-Пирсона, которая, как известно, дает оптимальный (наиболее мощный) критерий в классе всех критериев заданного уровня. Это критерий отношения правдоподобия.
Однако для более трудных и важных для практики задач проверки гипотез, связанных либо с проверкой сложных гипотез, либо с рассмотрением сложных альтернатив, равномерно наиболее мощные критерии существуют редко, а роль критерия отношения правдоподобия существенно меняется. Статистику отношения правдоподобия обычно не удается вычислить в явном виде, она теряет свойство оптимальности, а ее распределение неустойчиво к изменениям статистической модели. Более того, статистик часто вообще не может определить вид альтернативы, без чего построение параметрических критериев теряет смысл.
Поэтому одним из путей развития проверки статистических гипотез стал путь "эмпирического" построения критериев, когда конструируемая статистика критерия основана на определенном принципе, остроумной идее или здравом смысле, но оптимальность ее не гарантирована.

Переходим к вычислению спектра интегрального оператора с ядром К^,в). Рассмотрим интегральное уравнение
А/(<) = [ К(1,з)/(з)с1з, 0<в,£<1.
Поскольку К{Ь, в) = £атт(1 — £, 1 — в), то уравнение принимает вид:
А/(£) = £ [ в/(з^с1з — £2 / з/(з)(1з — t^ з2/(з)с1з. (2.3.18)
^o о/о Jt
Заметим, что /(0) = /(1) = 0. Продифференцируем обе части уравнения (2.3.18) :
А/'(£) = / з/(з)с1з — 2£ А — [ в2/(в)йв. (2.3.19)
J о J о Jt
Полученное уравнение (2.3.19) продифференцируем еще раз:
А/"(0 = -2 [ в/(5)с/а - £2/(^),

откуда видно, что /м(0) = 0.
Теперь вернемся к уравнению (2.3.18): разделим его на £, заменим А = ^ и полученное уравнение продифференцируем дважды. В результате этих операций имеем:
£2/"(£) - 2£/'(£) + (2 + £4^)/(£) = 0.
Решением этого уравнения ( см. [8]) является:
/(£) = £1(С1Л(у^£2/2) + С2 где Jp(z) = /р_1(г)