О точности аппроксимации нормальным распределением и асимптотическими разложениями в терминах псевдомоментов

• Автор: Ярославцева, Лариса Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 с.

Предисловие
Классическая центральная предельная теорема - один из фундаментальных результатов теории вероятностен, устанавливающий равномерную сходимость функции распределения нормированной суммы независимых одинаково распределенных невырожденных случайных величин, имеющих конечные дисперсии, к функции распределения стандартного нормального закона. Если первая версия центральной предельной теоремы была доказана уже А. Муавром в 18 веке, то её систематическое изучение началось в начале прошлого века с основополагающих работ А. М. Ляпунова. Были получены различные обобщения, в частности на многомерные и бесконечномерные пространства, а также ослаблены условия независимости и одинаковой распределённости слагаемых.
Важным вопросом, представляющим не только теоретический, но и большой практический интерес, является получение оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме.
Классические оценки типа неравенства Берри-Эссеена формулируются в терминах абсолютных моментов слагаемых и, следовательно, учитывают только один из факторов, обуславливающих близость распределения нормированной суммы случайных величин и аппроксимирующего нормального распределения — большое число слагаемых п. Однако эти распределения могзгт быть близки и при небольших значениях п если распределения самих слагаемых близки к нормальным. Для учета не только первого, но и второго из указанных факторов в неклассических оценках вместо абсолютных моментов слагаемых используются другие

их характеристики — псевдомоменты, разностные моменты, идеальные метрики.
Исследования по неклассическим оценкам начались в середине 70-х годов прошлого века с основополагающей работы В. М. Золотарева [6] и далее развивались этим автором, а также В. В. Сазоновым, В. И. Ротарем, С. В. Нагаевым, В. Паулаускасом, В. В. Ульяновым, В. В. Сенатовым и другими математиками. В некоторых задачах были получены в каком-то смысле оптимальные результаты. В то же время остались открытые проблемы. Одна из таких проблем — получение более точных оценок скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме в случае, когда слагаемые независимы, но не обязательно одинаково распределены.
Для получения приближений распределений нормированных сумм случайных величин более высокого порядка точности по п используются так называемые асимптотические разложения. Оценки точности аппроксимации асимптотическими разложениями в классическом виде так же, как и оценки точности приближения нормальным законом, формулируются в терминах абсолютных моментов слагаемых. Неклассические оценки в этой задаче до настоящего момента были получены лишь для случая одинаково распределенных случайных величин в работе А. Мпталаускаса и В. Статулевнчиуса [8].
Настоящая работа посвящена уточнению и получению новых неклас-сическнх оценок.
Во введении содержится обоснование актуальности темы диссертации и исторический обзор, связанный с темой работы. Кроме этого, в нем формулируются и обсуждаются результаты, полученные в работе.
В главе 1 мы получаем неклассическую оценку скорости сходимости в центральной предельной теореме в с асимптотически наилучшим на настоящий момент показателем суммы псевдомомеитов в общем случае независимых, но необязательно одинаково распределенных слагаемых.
Главы 2 и 3 посвящены оценкам точности аппроксимации функции

распределения нормированной суммы случайных величин асимптотиче-сикими разложениями в К1. В главе 2 впервые получена неклассическая оценка точности аппроксимации коротким асимптотическим разложением Эджворта для случая независимых слагаемых, имеющих конечные абсолютные моменты 3-го порядка. В главе 3 получены первые оценки в терминах псевдомоментов точности приближения асимптотическими разложениями Бергетрема длины до (в-2) включительно когда рассматриваемые слагаемые независимы, но не обязательно одинаково распределены и имеют конечные абсолютные моменты порядка э.
В приложении А приведены вспомогательные результаты, полученные другими авторами, использующиеся при доказательстве теорем глав 1, 2 и 3.
Автор выражает благодарность своему научному руководителю Ульянову Владимиру Васильевичу за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Заметим, что и к < 8рз в силу (1.10). Следовательно,
к=1 к— к
П 1 П
к=1 к
= 2 Рд (<А Ьп)з п.
Из (1.18), (1.21) и (1.22) находим
X ( . ад!-««.)'
П/П Пу/п/ >
+ <й .« + <й ( + ()’(‘(| '£«)*))-
Пусть
г,?.(-Е?= + (й *(<й,ад|*
Пу/п Пу/ПУ )
/ * +л*зл<*«-1 (,!.
Пу/п п/пУ >
Если 5 > 1, то
Ап (С) <
<[М-
чЖ'н’-
(1.22)
(1.23)