Равновесные распределения в некоторых задачах символической динамики со счётным числом состояний

• Автор: Поляков, Антон Борисович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 139 с.

Содержание
Введение
Предварительная информация: ориентированные графы
1 О мере с максимальной энтропией для специального потока над локальным возмущением счётной топологической схемы Бернулли 1Р
1.1. Введение к главе
1.2. Производящие функции специальных потоков, построенных по локальным возмущениям счётной ТСБ и функциям из класса 5°(У((7))
1.3. Критерий устойчивости
1.4. Меры с максимальной энтропией
1.5. Специальные потоки, построенные по локальным возмущениям счётной ТСБ
и локально-постоянным функциям
1.6. Специальные потоки, построенные по локальным возмущениям счётной ТСБ
и положительным функциям с суммируемыми вариациями
2 Равновесные распределения на множестве перестановок целых чисел
2.1. Введение к главе
2.2. Комбинаторная лемма
2.3. Вычисление предельной случайной перестановки для тсплицевой матрицы с конечным числом ненулевых диагоналей
2.4. Равновесные случайные перестановки
2.5. Вариационный принцип на множестве перестановок Ех(а)
2.6. Пример: трёх-диагональные матрицы
3 Устойчиво-возвратные функции на пространстве путей счётного графа
3.1. Введение к главе
3.2. Устойчивая возвратность в случае локально-постоянной функции
3.3. Функции с суммируемыми вариациями на пространстве путей конечного графа
3.4. Возвратность устойчиво-возвратных функций
3.5. Теорема солидарности
3.6. Положительная возвратность устойчиво-возвратных функций
3.7. Возмущения возвратных функций
Введение
Символическая динамика занимается изучением динамических систем, у которых в качестве точек фазового пространства фигурируют бесконечные наборы символов, принадлежащих данному не более чем счётному алфавиту или, как ещё говорят, множеству состояний. При этом наиболее распространённым и во многих случаях естественным преобразованием, задающим динамику, является сдвиг; вместе с тем, помимо сдвига, в некоторых разделах символической динамики, например в теории клеточных автоматов, рассматриваются и другие преобразования. Символические динамические системы исследуются в достаточно широком контексте, который включает в себя теорию вероятностей, статистическую физику, функциональный анализ, эргодическую теорию и другие направления. Методы символической динамики играют важную роль при изучении классических динамических систем гиперболического типа, в частности, геодезических потоков на многообразиях постоянной отрицательной кривизны и гиперболических диффеоморфизмов гладких многообразий (см. [2], [5], [21], [6], [36]). Следует также подчеркнуть тесную связь между символическими системами и решётчатыми моделями статистической физики (см. [24], [25], [14], [22]).
Необходимо отметить то обстоятельство, что наличие у символической динамической системы счётного (а не конечного) числа состояний существенным образом усложняет её изучение, а иногда приводит к возникновению целого ряда новых задач, которые неактуальны или даже не имеют смысла в случае конечного числа состояний. Такое положение вещей обусловлено, как правило, тем, что счётный алфавит зачастую порождает неком-пактность фазового пространства относительно некоторой естественной топологии. Активное исследование символических систем со счётным множеством состояний началось сравнительно недавно, в конце 70-х - первой половине 80-х гг. Такие системы (более точно, специальные потоки над счётными топологическими цепями Маркова) появляются, например, при рассмотрении рассеивающих биллиардов (см. [7]). Источником значительного числа задач символической динамики со счётным множеством состояний служит термодинамический формализм — совокупность идей и понятий, близко соприкасающихся со статистической физикой (выделим здесь работы [17], [18], [26], [37]).
В рамках термодинамического формализма одним из основных является понятие равновесного распределения. Пусть имеется динамическая система (не обязательно символическая) (У, Т) с фазовым пространством У, наделённым борелевской <т-алгеброй по отношению к заданной топологии или метрике, и с непрерывным преобразованием Т : У —> У, а также непрерывная функция (потенциал) / : У К. Тогда на Т-инвариантных борелевских вероятностных мерах р на У можно рассмотреть функционал давления Т{р) = /г(1(Т’)+J / (1/1, где И(1(Т) — энтропия преобразования Т относительно меры /4, причём мы берём только тс меры, для которых сумма энтропии и интеграла имеет смысл; в случае некомпактного пространства У, когда как раз и могут возникнуть “плохие” меры /4, например, с /4,,(Т) = оо, // (7/4 = —оо, иногда удаётся построить продолжение функционала Т>(/4), что позволяет принять во внимание меры, порождающие ситуацию неопределенности вида ■р(/4) = 00 — 00 (см. [18], [35], [26]). Меры, на которых достигается верхняя грань функционала давления, называются равновесными распределениями на У относительно потенци-
Введение

ала /. Если / = 0, то в этом частном случае равновесные распределения носят название мер с максимальной энтропией. Среди наиболее важных вопросов, возникающих в связи с изучением вариационной задачи для функционала давления, выделим следующие: о существовании единственного равновесного распределения для данной системы или, говоря в терминах статистической физики, вопрос о фазовых переходах; о возможности охарактеризовать равновесные распределения как гиббсовские меры, или вопрос о справедливости вариационного принципа Гиббса; а также вопрос о предельном поведении последовательностей равновесных распределений, отвечающих исчерпывающим последовательностям “конечных подсистем” исходной системы.
В настоящей работе рассматриваются три задачи символической динамики (их темы можно обнаружить в названиях соответствующих им глав), в которых главным предметом исследования является понятие равновесного распределения с точки зрения сформулированных выше вопросов. Мы объединяем здесь эти задачи вместе, поскольку у них можно отмстить несколько общих характерных особенностей, что делает их близкими по своему духу и содержанию. Во-первых, в основном контексте каждой из задач фигурирует символическая динамика со счётным числом состояний. Во-вторых, на протяжении данной работы мы будем постоянно иметь дело с такими объектами, как топологические цепи Маркова — это символические динамические системы, порождённые сдвигом на множестве последовательностей, которые отождествляются с бесконечными путями конечного или счётного ориентированного графа. Так, топологические цепи Маркова фактически присутствуют уже в начальной постановке двух задач (см. главы 1 и 3), а в одной задаче (глава 2) они возникают непосредственно по ходу исследования. Наконец, при решении задач, представленных в этой работе, мы придерживаемся общего подхода, который носит главным образом комбинаторный характер и основывается на анализе различных совокупностей конечных путей в ориентированном графе, которые задаются определённым набором условий, и локальных статистических сумм (возможно, зависящих от параметра), отвечающих этим совокупностям.
Структура настоящей работы подчиняется следующему порядку. Каждой задаче посвящена отдельная глава. Каждая глава разбита на разделы, занумерованные двумя цифрами, первая из которых обозначает номер соответствующей главы, а вторая — порядковый номер данного раздела внутри этой главы. Все выделяемые формулировки (теоремы, леммы, определения и т.д.) снабжены номерами вида п.ш, где п — номер главы, a in — порядковый номер данной формулировки внутри своего класса.
Перейдём теперь к краткому описанию каждой из задач и обзору основных результатов, содержащихся в данной работе.
В главе 1 рассматриваются специальные потоки над некоторым классом топологических цепей Маркова, а именно, над локальными возмущениями топологической схемы Бернулли со счётным числом состояний, и меры с максимальной энтропией для таких потоков. Под локальным возмущением понимается удаление конечного множества рёбер в соответствующем графе. Основная задача этой главы — найти достаточные, а если возможно, то и необходимые, условия (в терминах функции /, определяющей поток) того, что существует (единственная) мера с максимальной энтропией одновременно для специального потока Sf, построенного по / и счётной топологической схеме Бернулли, и для специального потока 5/, определённого над произвольным локальным возмущением этой схемы Бернулли. Таким образом, будет изучаться устойчивость свойства потока S/ иметь (единственную) меру с максимальной энтропией при локальных возмущениях базы потока.
Специальные потоки, построенные по счётным топологическим цепям Маркова и положительным локально-постоянным функциям, исследовались С.В. Савченко в работе [29]. В частности, там показано, что для соответствующих потоков не может существовать более одной меры с максимальной энтропией, и приводится критерий существования такой
Глава 1. О морс с максимальной энтропией для специального потока

Наконец, введём следующие производящие функции:
'П *”(*) = Е "/’(т,*), ^еУ(с^),

е(7)=«
ф”(*) = Е ш/2(7>*)> г»ЄУ((?лг),
c(7)=v
*}}(х)= £ ш}4ЪХ), УЄУ(С%),

е(7)=ч
ф“(*) = Е "/‘(7.*)-

Здесь функция Ф]у (х) нс зависит от выбора у Є Р((7|/), так как значение и>}2(у,х) не зависит от конца е(у) пути 7 и для всякого 7 С Г}| и произвольного у Є К(С?д?) путь 7,,, задаваемый равенствами /(7«) = /(7), У{(7„) = г,(7), і — 0,...,/(7) — 1, с(7„) = ц, тоже принадлежит множеству Г]у. По аналогичным причинам Ф|/(х) не зависит от выбора у Є V(Он), а 1І'У(х) — от у Є У(С^). Кроме того в обозначениях опущены индексы £7, т, го, /, поскольку данные объекты но меняются на протяжении этого доказательства.
Распишем теперь производящую функцию угС(т+1) у+ й(х), обозначив её через В|
силу разложения (1.5.6), формулы (1.5.8), приведённого выше замечания и того факта, что из любой вершины у Є У(Сц) в графе Є исходит ребро в любую вершину у' Є У(Є]}) и наоборот, при IV > N1 и д > 1 находим
V ■ Е «/+(7;*) =
1 7ЄГт(С;ш)
9л(7)=
Е а'/2(7і,ж) П х) П ш/1(7*и х) ' а,/1(7«+1,ж) —
7=717|'тз7І...7»7(7»+І1 1=1 *1=
7іЄГ}2, 7,еГ», л-=1.,,
75-цЄГ«. 7іЄГ]), к=2,...,ч
= ФІ?(*)(ф^(*))'(Фіг1(*)Г1 *£(*).
откуда
7€Гт(С;«/)

= Е <*'/+(7;а;) + Е Е ш/+(7;ж) =
7ЄГгп(С;«;) д=17ЄГгп(С?;и/)
4ЛгЫ=0
= Ф*(*) + Ф^2(а:)Ф^(х)Х;(Ф^(*)ФУ(ж))?"1 • Ф5гЧ*) =

где мы обозначили
•}’ Фл*(г)= Е ^/+(7;*)-
7 Є Гт ( 4ЛгЫ=°