Аппроксимация второго порядка и бутстреп для усеченных сумм и L-статистик

• Автор: Грибкова, Надежда Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 246 с. : 5 ил.

Оглавление
Введение
1 Аппроксимация второго порядка распределений усеченных сумм
1.1 Введение и основные обозначения
1.2 Оценки точности нормальной аппроксимации
1.3 Асимптотические разложения
1.4 Случай легких хвостов у Р
1.5 Аппроксимация [/-статистиками
1.5.1 [/-статистическая аппроксимация усеченной суммы
1.5.2 Аппроксимация оценки асимптотической дисперсии
1.6 Доказательства
1.6.1 Доказательство результатов раздела 1.
1.6.2 Доказательство результатов раздела 1.
1.6.3 Доказательство результатов раздела 1.
2 "Усеченное среднее. Асимптотическое распределение и т -С п -бутстреп
2.1 Введение и основные обозначения
2.2 Асимптотическое распределение Тп и Т’т, состоятельность
т <§; п-бутстрепа
2.3 Некоторые применения
2.4 Доказательства

2.5 Численный пример

3 Асимптотические разложения типа Эджворта для усеченного
среднего
3.1 Введение
3.2 Формулировка результатов
3.3 Асимптотическая аппроксимация смещения
3.4 [/-статистическая аппроксимация
3.4.1 Аппроксимация для усеченного среднего
3.4.2 Аппроксимация оценки асимптотической дисперсии
3.5 Доказательства
3.5.1 Доказательство теоремы 3.
3.5.2 Доказательство теоремы 3.
3.5.3 Доказательство теоремы 3.
3.6 О связи с результатом для симметрических статистик
4 Корректность второго порядка бутстреп-аппроксимации
4.1 Введение
4.2 Формулировки результатов
4.3 Об эмпирических разложениях Эджворта, т ф п-бутстрепе и
экстраполяции
4.4 "Простой" бутстреп (т = п)
4.4.1 "Простой" бутстреп для ТП(2)
4.4.2 "Простой" бутстреп для ТП(1)
4.5 Численное моделирование, примеры
4.6 Доказательства
4.6.1 Вспомогательные результаты
4.6.2 Доказательство теорем 4.1 и 4.
5 Вспомогательные результаты типа Бахадура — Кифера
5.1 Представления для эмпирической квантили фиксированного уровня

5.1.1 Формулировки лемм
5.1.2 Доказательство леммы 5.
5.1.3 Доказательство леммы 5.
5.2 Представления для выборочных квантилей в случае последовательностей, представления для "хвостовых" квантилей
5.2.1 Формулировки результатов
5.2.2 Доказательство теоремы 5.
5.2.3 Доказательство теоремы 5.
5.2.4 Доказательство следствия 5.
5.3 Представления для т n-бутстреп-квантили
5.3.1 Формулировки лемм
5.3.2 Доказательство леммы 5.
5.3.3 Доказательство леммы 5.
6 Неравенства типа Берри — Эссеена для L-статистик
6.1 Введение
6.2 Обобщение результата В ван Цвета
6.3 Усечение на уровне центральных порядковых статистик
6.4 Фиксированное усечение
6.5 Вспомогательные результаты
6.5.1 Оценки моментов порядковых статистик
6.5.2 Неравенства для моментов
7 Бутстреп для L-статистик
7.1 Введение
7.2 Асимптотические свойства нормирующих постоянных
7.3 Бутстреп-аппроксимация распределений
Список литературы

Этот результат можно сравнить с результатом Егорова и Невзорова [8], где при несколько более строгих ограничениях были получены оценки порядка Оптимальность оценки (1.2.3) (при отсутствии конечного второго момента у Е) непосредственно следует из результатов раздела 1.3, посвященного асимптотическим разложениям типа разложения Эджворта (см. соотношение (1.3.5), замечание 1.1 в разделе 1.3).
Следующее утверждение касается слегка усеченного среднего в случае, когда ~ЕХ2 < оо, т.е. случая легких хвостов.
Теорема 1.3. Предположим, что о2 = <т2(0,1) < оо, ап V /3„ —> 0, п —> оо, и что выполнены условия [Эф А'^. Кроме того, предположим, что для любого В > 0:
Фап1_^(В) = о((/(^а„)1оёА;„)_1), Ф= о((/(^1_/зп)1оётп)“1),
(1.2.4)
п —> оо. Тогда
8ир|ЕТ„(гг) - Ф(т)| = о(г“1/2У (1.2.5)
п —> 00.
Этот результат — т.е. оценка (1.2.5) — применим, например, к ф.р. Е с регулярно меняющейся на хвостах плотностью /, которая ведет себя на бесконечности как |т[~(3+£) (с некоторым £ > 0), так что дисперсия Е конечна. Если мы возьмем, например, кп = тп = [и1/2], то получим
оценку порядка о(п~1//4) вместо 0(п-1^4), которую дает теорема 1.2. Более того, если предполагать существование конечных моментов более высокого порядка, чем 2, то возможно получение лучших оценок точности нормальной аппроксимации, чем (1.2.5), эти оценки могут быть получены в терминах степени п, т.е. в виде 0(п~Л), д < 1/2, вместо о ((кп Л шф1^2), как в (1.2.5).
Теперь мы выведем некоторые следствия теорем 1.1-1.3. Первое следствие касается случая слегка усеченной суммы, когда ф.р. Е принадлежит области