Слабо случайные многочастичные системы с квадратичным взаимодействием

• Автор: Лыков, Александр Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с.

Оглавление
1 Введение
1.1 Проблема сходимости
1.2 Основная модель
1.3 Классы случайных внешних сил
1.3.1 Белый шум
1.3.2 ЭС-процесс
1.4 Классы гамильтонианов
1.5 Основные результаты
1.5.1 Белый шум
1.5.2 5С-процесс
1.5.3 Большие N
1.6 Вычисление размерности диссипативного
подпространства
1.7 Иные модели и подходы
1.7.1 Взаимодействие с внешней средой
1.7.2 Подходы основанные на свойствах распределения Гиббса
1.7.3 Близкие математические модели
2 Необходимые технические результаты из теории случайных процессов
2.1 Гауссовские системы
2.2 Белый шум
2.3 Стационарный в широком смысле процесс
2.3.1 Определения и свойства
2.3.2 Интегрирование
2.3.3 Многомерный стационарный процесс

2.4 Сходимость к инвариантному распределению
2.4.1 Среднее время достижения далекой точки для счётных
марковских цепей
3 Доказательство теорем для однородной гамильтоновой системы с диссипацией
3.1 Общие определения и утверждения
3.2 Доказательство утверждений
3.3 Вычисление размерности диссипативного
подпространства
3.4 Гамильтоновы системы
4 Доказательство теорем для гамильтоновой системы с диссипацией и воздействием белым шумом
4.1 Доказательство теоремы
4.2 Доказательство утверждения
4.3 Доказательство теоремы
4.4 Доказательство утверждения
5 Доказательство теорем для гамильтоновой системы с диссипацией и воздействием 5С-процессом
5.1 Доказательство теоремы
5.1.1 Связь с формулой (1.14)
5.2 Резольвента матрицы А
5.3 Доказательство теоремы
5.4 Большие N
5.4.1 Оценка хвостов
5.4.2 Доказательство теоремы
5.4.3 Оценка для
5.4.4 Доказательство теоремы
5.5 Термодинамический предел
5.5.1 Доказательство теоремы
5.5.2 Другие условия на оператор V

Глава
Введение
1.1 Проблема сходимости
Предположим, что движение некоторой системы N й-мерных частиц описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Предметом изучения неравновесной статистической механики служит эволюция вероятностных мер на фазовом пространстве, порождаемая данной системой дифференциальных уравнений. Особенность задач статистической механики обусловлена тем, что число частиц очень велико (IV ~ 1023). В равновесной статистической механики исследуются свойства специального класса инвариантных относительно динамики мер, определяемых постулатом Гиббса ([12]), который утверждает, что в состоянии термодинамического равновесия системы с большим числом частиц описываются распределением Гиббса. Данный постулат позволяет выводить многие физические законы, в частности, обосновать равновесную термодинамику.
Обширную часть статистической механики занимают кинетические уравнения, предназначенные для приближенного описания временной эволюции системы в более простых переменных (например, моментные функции вероятностной меры, средние значения физических величии). Задача установления связи кинетических уравнений с уравнениями, описывающими движение большой системы частиц находится среди основных в статистической механики. Одной из первых работ внесших существенный вклад в данную проблематику является монография Боголюбова [6].
Как уже было отмечено, ключевой особенностью статистической механики является то обстоятельство, что число частиц системы огромно. Поэтому

Поэтому,
Е{/г(:£)/,Ю} = ЕЕ{ f{e-sAB)ujih) ds t {e-sAB)jhf^ ds}.
1 1 J o J

Далее воспользуемся леммой 15 и независимостью процессов /i^ и при 1ф12- Получим:
rt rtJ
Eimijit')} = V / dh dt2(e-sAB)u(e-sAB)J,lCf(t1-t2) = l=1 Jo Jo
= dt! jf dt2 e~sABBTe~sATCf (tx ~ t2)^J .
Лемма доказана. □
2.4 Сходимость к инвариантному распределению
Наши доказательства теорем о сходимости решения основного уравнения (1.9), как правило, будут опираться на утверждение 3. Тем не менее, хотелось бы дать небольшой обзор методов доказательства сходимости, основанных на функциях Ляпунова.
Одним из наиболее известных результатов на пути обоснования сходимости с помощью функции Ляпунова является знаменитая Н-теорема Больцмана (1872 г.). Стоит отметить, что сам Ляпунов на момент, когда Больцман опубликовал свою теорему, ещё даже не окончил гимназию (принцип Арнольда). Больцман сначала вывел уравнение для плотности распределения (в фазовом пространстве) частиц идеального газа (уравнение Больцмана). Н-теорема утверждает, что энтропия идеального газа (Н-функция) не возрастает с течением времени. Данный результат позволил Больцману доказать сходимость решения уравнения Больцмана к распределению Максвелла. Идея Н-теоремы получила своё продолжение в изучении уравнений химической кинетики: если коэффициенты химической реакции удовлетворяют условию Батищева-Пирогова, то можно указать положительную Н-функцию, которая не возрастает вдоль решений системы. Кроме того, при фиксированных значениях констант в законах сохранения существует единственное стационарное решение соответствующих уравнений и имеет место сходимость к нему. Подробное изложение данной темы можно найти в книге [48], с. 188, 168.