Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородных и случайных средах

• Автор: Яровая, Елена Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 123 с.

Оглавление
Введение
1 Ветвящееся случайное блуждание в неоднородной среде
1.1. Описание модели
1.2. Производящие функции
1.3. Дифференциальные уравнения для моментов
1.4. Интегральные уравнения для моментов
1.5. Случайное блуждание на Zd (без ветвления)
1.5.1. Асимптотика переходных вероятностей p(t,ж, у)
1.5.2. Функция Грина случайного блуждания
1.6. Спектральные свойства ä-возмущенного оператора А
1.7. Критичность. Основные результаты
1.8. Спектральная классификация асимптотического поведения процесса. Монотонность т (t, 0,0)
1.8.1. Задача Коши для уравнения dm/dt = (А + ßSg)m
1.8.2. Задача Коши с начальным условием ш(0)
1.9. Надкритический случай
1.10. Предельная теорема для надкритического случая
1.11. Общие методы исследования в критическом и докритическом случаях
1.12. Критический случай
1.12.1. Первые моменты в размерностях d <

1.12.2. Первые моменты в размерностях б, > 5. Старшие моменты
1.13. Докритический случай
1.13.1. Первые моменты
1.13.2. Старшие моменты
2 Ветвящееся случайное блуждание в случайной среде
2.1. Описание модели
2.2. Производящие функции
2.3. Дифференциальные уравнения для моментов
2.4. Неоднородная задача Коши для неслучайного потенциала
2.5. Неоднородная задача Коши для случайного потенциала
2.6. Представления Фейнмана -Каца для моментов
2.7. Асимптотика статистических моментов (т{)
2.8. Асимптотика статистических моментов (га£)
2.9. Перемежаемость моментов. Заключительные замечания
Литература

Введение
Центральная задача теории ветвящихся случайных блужданий — изучение эволюции процессов во времени в зависимости от структуры среды. В представленной работе исследуется предельное поведение ветвящихся случайных блужданий на d-мерной целочисленной решетке в ситуации, когда ветвящаяся среда (т.е. совокупность процессов рождения и гибели частиц в узлах решетки) пространственно неоднородна либо случайна.
Со времени появления основополагающей статьи Б. А. Севастьянова [17] ветвящимся процессам с диффузией частиц было посвящено большое количество публикаций (см., например, обзоры В. А. Ватутина, А. М. Зубкова [5,45]). В частности, многие важные результаты для ветвящихся диффузионных процессов и ветвящихся случайных блужданий связаны с именами Б. А. Севастьянова, А. В. Скорохода, С. Асмуссена, Д. Виггинса, П. Ревеса и многих других математиков. Однако эти работы в основном либо ограничивались рассмотрением одномерного случая, либо исходили из предположения об однородности ветвящейся среды (т.е. характеристик ветвления в точках пространства). Отметим также создание в последние годы теории нового класса процессов — так называемых супердиффузионных процессов, возникающих как “диффузионный” предел ветвящихся случайных блужданий в больших системах частиц (см., обзор Д. Доусона с соавторами [37] и приведенную там библиографию).
Особую актуальность модели и задачи теории ветвящихся процессов с диффузией частиц стали приобретать в последнее десятилетие в свя-

Доказательство. По лемме 1.5.1 ряд p{t, х, у) абсолютно сходится
при каждых ta y. Поэтому к уравнению (1.5.1) применимо дискретное преобразование Фурье p(t,9,y) = Yx€ZdP{tix>y)e'x і после которого в силу (1.5.2) уравнение (1.5.1) примет вид
Отсюда р{р,в,у) = еф№е'М и, применяя обратное преобразование Фурье к последнему равенству, получаем:
Для доказательства соотношения (1.5.13) теперь достаточно заметить, что в силу леммы 1.5.2 интеграл в (1.5.15) является интегралом Лапласа Е{£) = / /(0)е* Лв с дважды непрерывно дифференцируемой функци-
ей ф(в), имеющей единственный невырожденный максимум во внутренней точке области П = [—зг, тг]ё С И“*, асимптотика которого имеет вид [21, т. 4.1 гл. II]:
Поскольку в нашем случае 0ц = 0, а значит, ф(@о) = 0 и /(0о) = П то из
(1.5.16) немедленно получаем (1.5.13).
Доказательство асимптотического равенства (1.5.14) также может быть получено как следствие результатов монографии [21], однако проще получить его непосредственно. Из (1.5.15) следует, что
[— 7Г,7Г}Й
при I > 0,з; е Ъл. Здесь в силу леммы 1.5.2 функция ф(9) при 9 6 [—л, гг]'1 может быть представлена в виде
дф(і,в,у)=ф(в)р(і,9,у), р(0,в,у)=е«в’У
еФ№+Це,у-*) f>0j x,yeZd. (1.5.15)
(1.5.16)
(1.5.17)
Ф(,6) = ш0)6,в) + у(в), где |»,(0)| < с|0|3,
(1.5.18)