Предельные теоремы для марковских процессов

• Автор: Бутковский, Олег Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с.

Оглавление
Введение
1 Сходимость маргинальных распределений марковских процессов в метрике Васерштейна
1.1 Мотивация
1.2 Оценки скорости сходимости для процессов с дискретным и
непрерывным временем
1.3 Примеры и приложения
1.3.1 Модель авторегрессии
1.3.2 Стохастические уравнения с запаздыванием
1.4 Доказательства теорем 1.2.1 и 1.2.4
2 Сходимость маргинальных распределений нелинейных марковских процессов
2.1 Сходимость распределений нелинейных марковских цепей
2.2 Уравнение Власова-Маккина с малым возмущением
2.3 Доказательства теорем 2.1.1 и 2.2.1
2.4 Севастьяновский ветвящийся процесс с иммиграцией
3 Сильная и слабая эргодичность марковских цепей
3.1 Построение каилинга и достаточные условия эргодичности
3.1.1 Модификация каилинга Васерштейна
3.1.2 Достаточные условия эргодичности
3.2 Примеры и приложения
3.3 Доказательства
3.3.1 Построение каилинга
3.3.2 Установление основных теорем третьей главы

Список основных обозначений
:= “положить по определению”;
N множество натуральных чисел;
Ъ - множество целых чисел;
множество целых неотрицательных чисел;
К множество действительных чисел;
К+ множество действительных неотрицательных чисел;
1(Л) - индикатор множества Л;
5Х дельта мера, сосредоточенная в точке х;
В(Е) сг-алгебра борелевских подмножеств метрического пространства Е] 'Р(Е) множество всех вероятностных мер на (Е,В(Е));
'Ру(-Е) множество вероятностных мер на (Е,В(Е)), интегрирующих неотрицательную измеримую функцию /; а А Ь = пнп(о, Ь), а V Ь = тах(а, 6), а+ = а V 0, где а, Ь £ К;
{а}, [а], [а] соответственно дробная часть, нижняя целая часть и верхняя целая часть действительного числа а;
{■, •) стандартное скалярное произведение в К";
ф/(/-Му), расстояния между вероятностными мерами ц, и м
соответственно в метриках полной вариации, взвешенной полной вариации и В асер штейна;
(О, X. Р) вероятностное пространство;
Ьашр(Х) распределение случайной величины X по мере Р;
X = V равенство по распределению случайных величин X и У;
Рь{х,А) переходная функция однородного марковского процесса;

Введение
Марковские процессы играют важную роль в современной теории вероятностей. Модели, описываемые с помощью марковских процессов, находят примени? в различных задачах физики, химии, биологии, финансовой математики. Эти процессы были введены A.A. Марковым [18, 19], а основы теории марковских процессов были заложены А.Н. Колмогоровым в статье [62]. В дальнейшем марковские процессы изучались в работах В. Деблина, Дж. Дуба, P.J1. Добрушина, Т. Харриса, Е.Б. Дынкина, A.A. Юшкевича, J1.H. Васерштейпа, Р.З. Хасьминского, Д. Алдоуса, Е. Нуммелииа, П. Туоми-иепа, Ш. Мейиа, Р. Твиди, П. Диакониса, Э. Мулина, А.Ю. Веретенникова, Г. Робертса, М. Хайрера, Дж. Матингли, Ю. Переса и многих других ученых. Упомянем здесь также классические и современные монографии, посвященные марковским процесам: [13, 14, 25, 65, 68].
Традиционными примерами марковских процессов являются броуновское движение (виперовский процесс) и пуассоиовский процесс. К ним также относятся решения стохастических дифференциальных уравнений, процессы Леви, процессы рождения-гибели и многие другие.
Известно, что при широких предположениях, см., например, [3. 4, 26], марковский процесс имеет единственную инвариантную меру и слабо сходится к пей. Изучение скорости сходим,ости маргинальных распределений марковских процессов к этой мере является значительно более сложной задачей. Более того, во многих, казалось бы, “простых’- ситуациях, даже тогда, когда пространство состояний конечно, неизвестны никакие оценки скорости сходимости. Так, во время Санкт-Петербургской летней школы по вероятности и статистической физике (2012) профессором Ю. Пересом был сформулирован целый ряд открытых проблем именно такого рода. В этой связи отметим также недавнюю диссертацию Е. Вилмер [87] под руководством П. Диакониса,

где С4 = с/с3. Применим лемму 1.4.2 к последовательности (аПк)ке%+ (это возможно, так как аПо ^ 1). Из оценки (1.4.3) следует, что ащ ф д~~1(к), 1'де
С5, Сб,... это некоторые положительные постоянные, а для того, чтобы получить третье равенство мы сделали замену переменной и = д>~1{сД~р). Итак,
Лемма 1.4.5. В условиях тхоремы, 1.2.1 процесс X имеет, единственную инвариантную меру 7Г.
Как было указано рецензентом статьи [32], если бы мы дополнительно предположили, что функция V имеет компактные нижние множества уровня, а процесс X является феллеровским, то доказательство данной леммы было бы тривиальным. Действительно, в этом случае утверждение леммы непосредственно вытекало бы из теоремы Крылова Боголюбова, см. [51, стр. 20]. Однако, мы не можем сделать такое предположение, поскольку мы собираемся применить теорему 1.2.1 к марковским процессам, имеющим не локально компактное пространство состояний (в частности, к сильным решениям СФДУ с пространством состояний С{[—г, 0], Кп), см. параграф 1.3.2).
Доказательство. На первом шаге установим существование инвариантной меры. Зафиксируем х 6 Е. Покажем, что последовательность мер {Рп5х)п5%+ содержит подпоследовательность Коши. Для п < т, где п.т £ Ъ+, определим

9(х) = I

мы окончательно получаем аПк ф сц(р(Н 1 (сик)) 1,/р и, следовательно,
УУ^^Р^у) ^ спС{^и)^{Н;спк)У11р-
Это завершает доказательство леммы.

А(п,т) := #{г € [п,т) : Рг(<р о У)(х) ^ 4К + 4У(х) + 1}, В(п,т) :=