Предельные теоремы для случайных матриц с зависимыми элементами

• Автор: Наумов, Алексей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 101 с. : ил.

Предисловие
Теория случайных матриц и методы, используемые при исследовании случайных матриц, играют важную роль в различных разделах теоретической и прикладной'математики. Случайные матрицы возникли из приложений, сначала в анализе данных, а позже в качестве статистических моделей в квантовой механике. В последние годы теория случайных матриц нашла многочисленные применения во многих других областях, например, в численном анализе, финансовой инженерии, биологии.
Одна из основных проблем в теории случайных матриц - исследовать сходимость последовательности эмпирических спектральных функций распределения для заданной последовательности случайных матриц.
В основополагающей работе Вигнера [1] рассмотрены симметричные случайные матрицы, элементы которых в верхней треугольной части являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, имеющими симметричное бернуллиевское распределение. Вигнер доказал, что ожидаемая эмпирическая спектральная функция распределения собственных значений таких матриц сходится к полукруговому закону. Позже этот результат был назван "полукруговым законом Вигнера" и обобщен в ряде работ, см., например, работу Арнольда [2]. Наиболее общие условия сходимости к полукруговому закону Вигнера для симметричных случайных матриц с независимыми элементами в верхней треугольной части матрицы были получены Пастуром в работе [3]. Пастур показал, что условие Линдеберга является достаточным для сходимости к полукруговому закону. Отметим, что

в работе Пастура предполагалось, что элементы матрицы имеют одинаковые дисперсии.
Другой интересный ансамбль случайных матриц представляют матрицы с независимыми элементами. Будем говорить, что выполнен круговой закон, если последовательность эмпирических спектральных функций распределения сходится к функции распределения, которая имеет плотность равномерного распределения на единичном круге. Для матриц с н.о.р. комплекснозначными нормально распределенными случайными элементами круговой закон был доказан Метой [4]. Его доказательство использует явное выражение для совместной плотности собственных значений матрицы, которое было найдено Жинибром [5]. В общем случае, в предположении существования конечных четвертых моментов и плотности у распределений элементов матрицы, круговой закон доказан Гирко [6]. Но его доказательство в литературе считается неполным. Предполагая существование плотности и некоторые моментные ограничения, Бай [7], доказал сходимость почти наверное эмпирических спектральных функций распределения к круговому закону. Без предположения о существовании плотности, но при дополнительных моментных ограничениях круговой закон был получен в ряде работ, см. [8], [9) и [10). Окончательный результат был получен Т. Тао и В. Ву в работе [11], где требовалось, чтобы элементы матрицы имели конечный момент второго порядка. Доказательства кругового закона в работах [7], [8], [9], [10] и |11| существенным образом опираются на оценку наименьшего сингулярного числа случайной матрицы и основаны на работе [12]. Следует также отметить, что разработанная Гирко [6] техника использовалась всеми отмеченными выше авторами для доказательства кругового закона.
Рассмотрим ансамбль матриц с коррелированными элементами, который является промежуточным в отношении ранее рассмотренных ансамблей. Любые два элемента матрицы из этого ансамбля,
симметричные относительно главной диагонали, коррелированны с постоянным коэффициентом корреляции, но не зависят от остальных элементов матрицы. Если коэффициент корреляции равен 1, то имеем ансамбль симметричных матриц. Если коэффициент корреляции равен 0, и дополнительно потребовать, что элементы матрицы имеют совместное гауссовское распределение, то имеем ансамбль матриц с независимыми элементами. Впервые такие ансамбли были рассмотрены Гирко [13]. Гирко показал, что эмпирическая спектральная функция распределения сходится к функции распределения, которая имеет плотность равномерного распределения на эллипсе. Оси эллипса определяются коэффициентом корреляции между элементами матрицы. Предельное распределение называется эллиптическим законом. Но доказательство Гирко было неполным, как и доказательство кругового закона. В гауссовском случае эллиптический закон получен в работе [15]. В настоящей работе будет приведено первое математически корректное и полное доказательство эллиптического закона в предположении конечности четвертого момента элементов матрицы. В ходе доказательства получена оценка наименьшего сингулярного числа, которая обобщает результат работы Вершинина [16] для случая симметричных матриц.
В работе [17] рассматривался ансамбль симметричных случайных матриц со структурой случайного поля. Промером такого ансамбля может служить классический ансамбль симметричных матриц с независимыми элементами в верхней треугольной части матрицы, рассмотренный выше, и ансамбль случайных матриц, элементы которых в верхней треугольной части имеют совместное равномерное распределение на многомерной сфере или шаре. В работе [17] предполагалось выполнение дополнительных условий на урезанные случайные величины. В настоящей работе устанавливаются достаточные условия для сходимости к полукруговому закону для симметричных

а;Ри,(||В-тУ||2>С)>1-е-с-
b) Ру(||В_гИ||2 < є-1/2||В-г||яз) >1-є;
c) РиКІІР^ІЬ > є|!В-г||я5) > 1 - С'(є + п 1/2).
Доказательство. Обозначим через {еД£=1 стандартный базис в М". Для всех 1 ^ к ^ п определим векторы

ХЬ := і ітз—і і і •
ІІВ 1е*||
В виду Утверждения 1.4:3 вектор ад является несжимаемым с вероятностью не менее 1 — е~т. Мы можем зафиксировать матрицу В, которая удовлетворяет этому свойству.
a) В силу неравенства для норм (|У|І2 ^ ||В||2І|В_ГД|І2. Мы знаем, что | |В 11 ^ 3 К у/п. В силу Леммы А.1.4 и Леммы А.1.5 ||[/|| > у/п. Следовательно ||В-1£/|| > С с вероятностью не менее 1 — е~сп.
b) По определению
Цв-Тп| Ц = Дв^е,,^)2 = ^нв-ЧпК®*,^)2.
г=1 г=
Легко видеть, что Е(У, ад)2 = 1. Таким образом
ецігтг||! = Д ЦВ-ЧІ1! = 113-41^.

В силу неравенства Маркова
РИІІВ-^ІЬДє-^ІІВ-ЧіязКє.
c) Обозначим
_||В-Ч||
Рг' ЦВ-ЧІЯ