Последовательное различение гипотез для броуновского движения с разладкой и фрактального броуновского движения

• Автор: Муравлёв, Алексей Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 107 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Исследование величин, связанных с падением и ростом броуновского движения со сносом
§1.1. Вспомогательное утверждение
§ 1.2. Свойства момента остановки 7аь
§ 1.3. Совместное распределение та и аь
§ 1.4. Обращение преобразований Лапласа
Глава 2. Задача о двусторонней разладке для броуновского движения в байесовской постановке
§2.1. Постановка задачи
§2.2. Сведение к задаче об оптимальной остановке для апостериорных вероятностей
§ 2.3. Качественное описание решения задачи об оптимальной остановке
§2.4. Интегральное уравнение для оптимальных границ
Глава 3. Последовательное различение гипотез для фрактального броуновского движения
§3.1. Задачи различения гипотез в байесовской постановке
§ 3.2. Сведение к стандартным задачам об оптимальной остановке
Глава 4. Марковское представление для фрактального броуновского движения
§ 4.1. Представление Вн в виде функционала от бесконечномерного
процесса Орнштейна-Уленбека
§ 4.2. Неравенство для среднего значения Вн, остановленного в случайный момент времени

Приложение
§ П.1. Исследование момента Сас
§ П.2. О распределении ХТа — т!в^Тв Х
§ П.З. Плотность распределения 7аь
§ П.4. Предельное распределение процесса л
Список литературы

Введение
Диссертация посвящена вопросам последовательного различения гипотез для моделей броуновского движения с “разладкой” и фрактального броуновского движения. Также в диссертации получено представление фрактального броуновского движения в виде линейного функционала от бесконечномерного диффузионного процесса, что представляет самостоятельный интерес и за рамками рассматриваемых задач.
В отличие от классических областей математической статистики, где объём выборки устанавливается заранее, в последовательном анализе объём выборки не фиксирован, а определяется в процессе анализа статистических данных, получаемых последовательно. В некоторых случаях это позволяет сделать заключение гораздо раньше, чем это было бы возможно при использовании классических методов. Начало данному направлению было положено в работах А. Вальда [80] в связи с изучением вопросов контроля качества продукции. Впоследствии методы статистического последовательного анализа нашли широкое применение в медицине [6, 21, 31], эпидемиологии [40, 66, 72], финансовой инженерии [2, 12], задачах обнаружения “атак” в компьютерных сетях [36, 71] и других областях.
Как и в других разделах математической статистики, отдельный класс составляют байесовские постановки, в которых предполагается, что неизвестные параметры не фиксированы, а являются случайными величинами. Двумя фундаментальными задачами статистического последовательного анализа являются задача о различении гипотез и задача о разладке.
Задача о различении гипотез относится к вопросу о том, как по наблюдениям за случайным процессом определить его вероятностные характеристики. Предполагается априори известным, что вероятностный закон распределения данного процесса принадлежит некоторому семейству. Задача состоит в том, как по наблюдениям определить точный вид данного закона. Поскольку продолжительность наблюдений заранее не фиксирована, то от

или, с учётом (2.8),
ЛХ, = ^1±1ЩЛ + аЛВ,. (2.11)
1 + рм + р2Ф
Из (2.7) и (2.11) следует, что процесс <р = (^с1, до+. цу.
1 + РФг + Р2Щ а
(И +—<рдВ^ г = 1,2.

Или, применяя к формулу Ито, получаем
с1тт = Лрф1 — л* — л2)сЙ + л) — — (—л* + —л?) <Ш*, г = 1,2. (2.12)
I а V а а /.
Таким образом, мы доказали следующий результат.
Теорема 2.1. Справедливы следующие утверждения:
1. Процесс л = (л1, л2) является марковской достаточной статистикой в задаче (2.1). /Три этом л является решением системы стохастических дифференциальных уравнений (2.12).
2. Оптимальный момент остановки г* может быть найден как решение задачи об оптимальной остановке (2.4).
3. Функция принятия решения д* принимает значение д1, если а (рхл2, + р2( 1 — лф)) < б(р2лф + Р1 (1 — л2»)), ид2 в противном случае.
§2.3 Качественное описание решения задачи об оптимальной остановке
Как известно (см. [57]), в марковском случае фазовое пространство П = {(л1, л2) : л1 ^ 0, л2 ^ 0, лх + л2 ^ 1} разбивается на множество остановки /7 и множество продолжения наблюдения С — ПТ), а оптимальным моментом остановки является момент т* первого попадания процесса л в область Б:
т* = т!{Т ^ 0 : щ Е Б}.