Задача о разладке для самовозбуждающихся процессов

• Автор: Алиев, Амир Фикрет оглы
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 78 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Задача о разладке для самовозбуждающегося процесса
1.1. Дискретный случай
1.2. Непрерывный случай
1.3. Винеровская разладка с интенсивностью, зависящей от значения процесса
1.4. Винеровская разладка па дискретном наблюдаемом множестве
1.5. Пуассоиовская разладка на дискретном наблюдаемом множестве
Глава 2. Задача о непрерывной разладке винеровского процесса
2.1. Постановка задачи
2.2. Однородный случай
2.3. Неоднородный случай
Глава 3. Некоторые общие теоремы для многомерных задач о разладке
3.1. О принципе гладкого склеивания в К”
3.2. Об оптимальном множестве остановки в М"
Литература

Введение
Актуальность работы. Задача о разладке может быть кратко описана. как оценивание ненаблюдаемого момента изменения характеристик наблюдаемого процесса. Большой интерес к задачам о разладке вызван в первую очередь важностью разработки эффективных методов её обнаружения в ряде практических задач. Исторически, первым таким приложением ещё в начале XX века был контроль качества па производстве, скажем, задача об обнаружении момента изменения характеристик выпускаемого товара вследствие внезапной поломки. В течение прошлого столетия список приложений значительно расширился: следует отметить задачи скорейшего обнаружения вспышек эпидемий [40. 51] и «атак» в компьютерных сетях [55. 92], выявления изменения климатических условий [83, 84] и характера сейсмической активности [69], распознавание однородных блоков наблюдений в записи ЭКГ [35, 42] и молекуле ДНК [41], опознавание возникновения тренда в финансовых данных [43, 56] и изменения смертности при проведении операций [911. Столь широкое распространение практических задач требует столь же богатого арсенала теоретических методов их решения.
Для выработки методов решения в каждом случае необходимо подобрать модель разладки. Среди ключевых параметров такой модели будут описание ненаблюдаемого момента разладки, целевая функция, учитывающая в той или иной форме погрешность оценивания, динамика наблюдаемого процесса и характер смены режима этого процесса. Кроме того, могут также играть роль такие второстепенные факторы, как присутствие цепы за наблюдения, наличие установившегося стационарного режима перед разладкой, неоднозначность распределения наблюдаемого процесса после разладки и т.п.
Первые теоретические исследования задач такого рода возникли в рабо-
тах Шыоарта [85, 86] в связи с задачей обнаружения брака на производстве, а именно выхода системы из нормального рабочего состояния. Для решения данной задачи Шыоарт предложил метод «контрольных карт», при котором тревога подавалась при выходе наблюдаемых характеристик процесса из коридора образованного вокруг эмпирического среднего. Пейдж в своих работах [70, 71] предложил альтернативную процедуру, впоследствии получившую название СиЭИМ, т.к. роль контрольной статистики играли кумму-лятивпые суммы вида ((Хп)п^о - наблюдения над процессом)
Дг-и — тпах{^Зп “Ь Хпу 0).
Ещё одна методика, предложенная Робертсом [81], основывалась на статистике экспоненциального сглаживания
£„+1 = (1 - г)5П + гХп.
Следует также отметить результаты [22, 23, 25]. Раннее численное сравнение различных методов можно найти в [80, 82], более современное в [63. 90].
Первым точным решением задачи о разладке следует считать, по-видимому, работу Гиршика и Рубина [49]. которые нашли оптимальную стратегию подачи тревоги в общей задаче смены плотности распределения последовательности случайных величин, где момент разладки имеет геометрическое распределение. Важно отметить, что в своей работе Гиршик и Рубин также рассмотрели случай, когда наблюдения имеют стоимость, и можно отказаться от них в какие-то моменты времени (см. [441, где подобная задача рассматривается в непрерывном случае). Подобная постановка задачи о разладке, в которой момент разладки полагался случайным и имеющим известное распределение, получила название байесовской, и была подробно изучена Ширяевым [26-31]. В этих работах были найдены оптимальные правила остановки в задачах о разладке винеровского процесса, как однократной, так и воз-

По-прежнему рассматривая классическую функцию штрафа (1.31) и используя результаты разработанной нами теории, мы получаем следующую динамику для процесса апостериорной вероятности разладки (см. также [73]):
дщ - р(1 - тг*_)фУг + ^----~7~Т71~—^ ~ ^17Гг + Ло^ _ ^))<Щ •
+ Л0(1 ~ 7Г*_)
(1.43)
Аналогичным предыдущему пункту образом доказывается независимость процесса N и обновляющего процесса Уг — /04(А17г5-|-Ло(1 —7т3))йв, откуда следует
Теорема 1.5.1. Описанная задача о разладке эквивалентна следуют,ей задаче оптимальной остановки для однородного марковского процесса апостериорной вероятности (яуф^о

(1 — 7ГТ) + с/ ТТ3дз ,

причём иифииитезимальиый оператор этого процесса равен
(1-/)(7г) = -(А1 - А0)тг(1 - тг)/'(тг) + А(/(тг + р(1 - тг)) - /(тг)) +
(Л,*, + Ло(1 - 1Г.)) (/ (Л1жТл0а -■»■■)) -/(,,)) - (144)
V (ж) = т{ Етг

Отметим, что множество {1-Н + С7Г < 0} = 0; , как и в виперов-
ской задаче, и значит для случая А1 > Ао (т.е. когда у процесса ист отрицательных скачков) оптимальное множество остановки так же представляет из себя отрезок [А] 1] для некоторого А. Аналогично предыдущему пункту может быть установлена справедливость уравнения И(0) = У(р). Отсюда верна
Теорема 1.5.2. При А1 > Ао оптимальная стратегия в описанной задаче о разладке представляется в виде т* = жt ^ А}, где опт,ималъиый