Ветвящиеся процессы с взаимодействием частиц

• Автор: Калинкин, А.В.
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 91 c. : ил

Глава I. Ветвящиеся процессы с взаимодействием частиц.

§ I. Определение процесса

§ 2. Многомерные производящие функции

§ 3. Прямое и обратное уравнение для производящих функций

§ 4. Интерпретация ветвящихся процессов с взаимодействием частиц

Глава II. Предельные вероятности случайного процесса с взаимодействием частиц.

§ I. Уравнения для предельных вероятностей

§ 2. Определение модели. Замкнутые классы

§ 3. Нули квазиположительных производящих функций

§ 4. Предельные распределения в замкнутых классах

Глава III. Вероятность вырождения ветвящегося процесса с одним типом частиц и взаимодействием.
§ I. Описание модели и формулировка результатов главы III
§ 2. Нули квазиположительной производящей функции
§ 3. Доказательство теоремы о вероятностях вырождения
Глава IV. Финальные вероятности ветвящегося процесса частицами финального типа.
§ I. Описание модели и уравнения для производящих функций
§ 2. Свойства неявных функций. Доказательство
теоремы 1
§ 3. Теорема об асимптотике финальных вероятностей
§ 4. Предельные теоремы для числа финальных
частиц
Литература

I. Актуальность проблемы. Задача построения случайных процессов с взаимодействием частиц восходит к совместным работам
А.Н.Колмогорова и М;АДеонтовича по физической статистике начала 30-х гг. Такую задачу подробно обсувдает Б.В.Гнеденко в курсе теории вероятностей [18] • М.А.Леонтович [19] дал модель
стохастической системы с попарно сталкивающимися частицами в виде однородного во времени марковского процесса в фазовом пространстве N П всех VI -мерных векторов с целочисленными неотрицательными компонентами. Близкие к такой модели марковские процессы на А/ определяются в ряде работ, посвященных конкретным задачам физической кинетики, химической кинетики, экологии (Н.Бейли [20] , К.Баруча-Рид [ю] , Г.Николис, И.Пригожин [21] , D.A.Mc(W7w[9] и др.). Ветвящиеся процессы с взаимодействием частиц определяются как специальный класс марковских
А / л,
процессов на /V , который обобщает все эти модели (Б.А.Севастьянов [2] ).
Если рассматривать ветвящийся процесс без взаимодействия частиц, то свойством, определяющим возможность построения математической теории ветвящихся процессов, является свойство отдельных частиц размножаться и эволюционировать независимо друг от друга. Такой ветвящийся процесс можно определить как однородный во времени марковский процесс в фазовом пространстве N-{ 0,1 2,...} переходные вероятности которого FUt), t £[°,°°) удовлетворяют при t I 0 условиям:
= + °^)) (х)
?iL (t) = 1 +■ с p^t + 0(t
p.*o р4<0, E p; = 0.

Теорема І. Вероятность вырождения процесса равна
пределу
О .. ~ іст, Р- (і)

Доказат ельство . Обозначим А^- событие состоящее в том, что уло- £ , уи± , т.е. процесс выродился к моменту Ь в состоянии . Так как для всех и > £

/*Ь- вытекает ули^ ] , £ А" и РСА^)^
Р ( Ас- ) . Событие А ^ , обозначающее вырождение процесса
, когда и = С , есть сумма событий Ал- , А
00 л И- ' ° '5 о
[) Ас- , поэтому вероятность вырождения и.= J
Я її = Р^с’А = Р(А?-)- їм. Р (мі*
у -і '• и. —* СО л іг—іоо у
Теорема доказана.
Введем производящие функции для вероятностей вырождения,
^--#07гЧ> і’0-,*-»
В основной теореме настоящей главы дается выражение для Ц х(ї) (то есть и для вероятностей вырождения, так как
° * (с)
Я1"]~ ^ ^ чеРез инфинитезимальяые вероятности процесса
{ р С і с е Д/] , или производящую функцию | ґ£) . При рассмотрении связи между и |^) основную роль играет
следующая теорема
Теорема 2. удовлетворяет уравнению
‘2>
и при і ~ к ~ і
I - Г,-
ГІ Ї С I
(3)
1—:— І “(І ,